Parametryczne równania ruchu.

[kama25]

Czy wzory parametryczne okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,R)}\) będą tak wyglądać
\(\displaystyle{ x(t) = R\sin\omega t \\
y(t) = R\cos\omega t - R}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ x(t) = R\cos(\omega t) }\)

\(\displaystyle{ y(t) = R \sin(\omega t) + R,}\)

bo równanie kanoniczne tego okręgu ​postaci:

..................................................

otrzymujemy, kładąc

\(\displaystyle{ \cos(\omega t) = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ \sin(\omega t) = \ \ ...}\)

[kama25]

Chyba nie ma potrzeby zamiany miejscami funkcji trygonometrycznych tym bardziej, że ruch ma się odbywać w lewo ale współrzędna dla \(\displaystyle{ t = 0}\) ma być \(\displaystyle{ (0,0)}\). Jak ten warunek uwzględnić?.

[janusz47]

Dla \(\displaystyle{ t = 0 }\) ma być punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (R, R) .}\)

Równanie kanoniczne okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ ( 0, R) }\) i promieniu \(\displaystyle{ R }\)

\(\displaystyle{ [x(t) -0]^2 + [y(t) -R]^2 = R^2 \ \ (*) }\)

Podstawiając

\(\displaystyle{ \cos(\omega t)= \frac{(x(t)-0)}{R}, \ \ \sin(\omega t) = \frac{y(t) -R}{R} }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1 \rightarrow \left [ \frac{(x(t)-0)}{R}\right]^2 + \left[\frac{y(t)-R}{R} \right]^2 = 1 }\) - równanie kanoniczne okręgu \(\displaystyle{ (*). }\)

[kama25]

Baba swoje, a dziad swoje Najlepiej się przespać z problemem i rano mózg wypluje prawidłowe rozwiązanie. Parametryczne równania ruchu punktu po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i środku w \(\displaystyle{ (0,r)}\) w ruchu lewostronnym, gdy dla \(\displaystyle{ t=0}\) punkt znajduje się w \(\displaystyle{ (r,r)}\) :

\(\displaystyle{ x(t) = r\cos\omega t\\ y(t) = r +r \sin(\omega t + \frac{3 \pi }{2}) }\)

dziękuję za dobre chęci janusz.

[janusz47]

Niech Pani nie czaruje!

[kama25]

Baba swoje, a dziad swoje Najlepiej się przespać z problemem i rano mózg wypluje prawidłowe rozwiązanie. Parametryczne równania ruchu punktu po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i środku w \(\displaystyle{ (0,r)}\) w ruchu lewostronnym, gdy dla \(\displaystyle{ t=0}\) punkt znajduje się w \(\displaystyle{ (r,r)}\) :

\(\displaystyle{ x(t) = r\cos\omega t \\ y(t) = r +r \sin(\omega t + \frac{3 \pi }{2}) }\)

dziękuję za dobre chęci janusz.

Edit. argument x-sa też powinien być taki sam jak igreka czyli:

\(\displaystyle{ x(t) = r\cos(\omega t + \frac{3\pi }{2}) \\ y(t) = r +r \sin(\omega t + \frac{3 \pi }{2}) }\)

Niech Pani nie czaruje!

PS nie czaruję niech pan spyta innych czarodziejów i trochę elastyczności w myśleniu, a mniej przepisywania schematów