Mam pytanie czy żeby rozwiązać takie równanie \(\displaystyle{ x^3-x+1}\), gdzie pierwiastek tego równania jest bardzo trudny do wyznaczenia i skomplikowany ( sprawdziłem na wolframalpha ), schemat Hornera, twierdzenie o wymiernych pierwiastkach też nie pomoże, a czy można wyznaczyć to miejsce zerowe używając pochodnej, ponieważ nie brałem tego jeszcze w szkole?
Oraz mam pytanie czy może być takie równanie bądź nierówność wielomianowa której nie da się rozwiązać?
Trudne równanie wielomianowe
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 7 razy
Trudne równanie wielomianowe
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 15:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 675
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 211 razy
Re: Trudne równanie wielomianowe
Wzory Cardano
Pozdrawiam
PS. Istnieją niesprzeczne równania wielomianowe, których rozwiązania można wskazać co najwyżej w przybliżeniu
Pozdrawiam
PS. Istnieją niesprzeczne równania wielomianowe, których rozwiązania można wskazać co najwyżej w przybliżeniu
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 7 razy
Re: Trudne równanie wielomianowe
Rozumiem, czyli tak jak napisałem nie da się tego zrobić/ jest to prawie niemożliwe dla niektórych przypadków, a to skomplikowane rozwiązanie o którym pisałem równania \(\displaystyle{ x ^{3}-x+1}\) to jest takiej postaci:JHN pisze: ↑13 wrz 2021, o 16:06 Wzory Cardano
Pozdrawiam
PS. Istnieją niesprzeczne równania wielomianowe, których rozwiązania można wskazać co najwyżej w przybliżeniu
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E3+-x+%2B+1+%3D+0
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 21:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Trudne równanie wielomianowe
To równanie ma pierwiastek
\(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9-\sqrt{69})}}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9-\sqrt{69})}}{3^{\frac{2}{3}}}}\)
Przepisałem z Wolframa i sam w życiu bym go nie odgadł, ale najprawdopodobniej wzory Cardano pozwoliłyby na jego wyznaczenie. Znając jeden pierwiastek wielomianu można wykonać dzielenie przez przez \(\displaystyle{ (x-x_1)}\) i w rezultacie otrzymamy wielomian stopnia 2, który można zbadać za pomocą delty (w tym przypadku delta będzie ujemna, wywnioskowałem to z Wolframa).
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x^2+bx+c)}\)
jednak liczby \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,b,c}\) są niemożliwe do zapisania za pomocą nazwijmy to "jawnego wzoru". Innymi słowy te liczby są, ale w praktyce wyznaczalne jedynie w przybliżeniu.
Dodam jeszcze, że często nawet jeśli szukanie dokładnych pierwiastków wielomianu jest możliwe, to jest tak żmudne, że znajduje się jedynie ich przybliżenia metodami numerycznymi. Mam na myśli oczywiście zastosowania np. w informatyce.
\(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9-\sqrt{69})}}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9-\sqrt{69})}}{3^{\frac{2}{3}}}}\)
Przepisałem z Wolframa i sam w życiu bym go nie odgadł, ale najprawdopodobniej wzory Cardano pozwoliłyby na jego wyznaczenie. Znając jeden pierwiastek wielomianu można wykonać dzielenie przez przez \(\displaystyle{ (x-x_1)}\) i w rezultacie otrzymamy wielomian stopnia 2, który można zbadać za pomocą delty (w tym przypadku delta będzie ujemna, wywnioskowałem to z Wolframa).
Użycie pochodnej niewiele tutaj pomaga.
Zależy co rozumiemy przez rozwiązanie. Mamy twierdzenie, że każdy wielomian (o współczynnikach rzeczywistych) da się zapisać jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak
Oraz mam pytanie czy może być takie równanie bądź nierówność wielomianowa której nie da się rozwiązać?
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x^2+bx+c)}\)
jednak liczby \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,b,c}\) są niemożliwe do zapisania za pomocą nazwijmy to "jawnego wzoru". Innymi słowy te liczby są, ale w praktyce wyznaczalne jedynie w przybliżeniu.
Dodam jeszcze, że często nawet jeśli szukanie dokładnych pierwiastków wielomianu jest możliwe, to jest tak żmudne, że znajduje się jedynie ich przybliżenia metodami numerycznymi. Mam na myśli oczywiście zastosowania np. w informatyce.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 7 razy
Re: Trudne równanie wielomianowe
Rozumiem, dziękuję
Dodano po 10 godzinach 24 minutach 28 sekundach:
W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(ax^2+bx+c)}\)
A czy tutaj nie powinien być taki zapis?^^^
Np wielomian stopnia 3 zapisujemy tak w postaci iloczynowej ( jeśli ma np jednej pierwiastek tzn współczynnik "a" występuje w trójmianie, \(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(ax^2+bx+c)}\)
Albo dla wielomanu stopnia 4 z dwukrotnym pierwiastkiem np
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)^2(ax^2+bx+c)}\)
Dodano po 10 godzinach 24 minutach 28 sekundach:
W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(ax^2+bx+c)}\)
A czy tutaj nie powinien być taki zapis?^^^
Np wielomian stopnia 3 zapisujemy tak w postaci iloczynowej ( jeśli ma np jednej pierwiastek tzn współczynnik "a" występuje w trójmianie, \(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(ax^2+bx+c)}\)
Albo dla wielomanu stopnia 4 z dwukrotnym pierwiastkiem np
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)^2(ax^2+bx+c)}\)
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 10:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj symbolu drugiej potęgi z tablicy znaków.
Powód: Nie używaj symbolu drugiej potęgi z tablicy znaków.