"To, że każda parzysta liczba całkowita jest sumą dwóch liczb pierwszych, uważam za całkowicie pewne twierdzenie, chociaż nie mogę tego udowodnić."*
*Euler i Goldbach uważali \(\displaystyle{ 1}\) za liczbę pierwszą. Oczywiście temat dotyczy rozważań dla współczesnego ujęcia problemu.
Jestem świadomy, że wobec powyższego realny atak na hipotezę jest poza zasięgiem
ale mimo to interesuje się tą hipotezą. Zastanawiałem się nad przekształceniem hipotezy tj. innymi hipotezami które ona implikuje. Przy użyciu prostych przekształceń można iść różnymi drogami, chciałby przedstawić jedną z nich (zapewne nie jest to żadna nowa droga ale niewiele jest na tym forum o HG więc stwierdziłem, że nie zaszkodzi).Wiem, że to co tu napiszę jest oczywiste dla wielu osób stąd, ale być może jest dla nich oczywiste również coś więcej niż to co tu napiszę i będą w stanie coś dodać.
1. Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem arytmetyki; każdą naturalną większą od \(\displaystyle{ 1}\) która nie jest pierwsza można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Dodajemy, że jest to unikalny iloczyn liczb dla każdej takiej naturalnej.
2. Wiadomo, że każdy iloczyn można przedstawić jako sumę np:
\(\displaystyle{ xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z }\)
Mam nadzieję, że wiadomo o co chodzi. Nie umiem tak zrobić, żeby ta pierwsza wielka sigma była większa od kolejnej. Mam na myśli przedstawienie iloczynu jako sumy sum.
3. HG dotyczy liczb parzystych czyli przynajmniej jednym czynnikiem pierwszym takiej liczby jest \(\displaystyle{ 2}\). Tu \(\displaystyle{ x = 2}\).
4. Mnożenie jest przemienne więc iloczyn można przedstawić jako sumę sum na liczbę sposobów równą silni z mocy zbioru czynników pierwszych (permutacja). Czyli (przykładowo dla trzech czynników):
\(\displaystyle{ C_{p} = \left\{ x,y,z\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| C_{p}\right| = 3}\)
\(\displaystyle{ 3! = 6}\)
\(\displaystyle{ xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z = \sum_{}^{x} \sum_{}^{z}y = \sum_{}^{y} \sum_{}^{x}z = \sum_{}^{y} \sum_{}^{z}x = \sum_{}^{z} \sum_{}^{x}y = \sum_{}^{z} \sum_{}^{y}x }\)
5. Dodatkowo każda ww. wariacja ma swoje (brak słowa) "podwariacje". Przykładowo dla \(\displaystyle{ x = 2}\) sumę sum można przedstawić jako:
\(\displaystyle{ a = xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z = \left( \sum_{}^{y}z\right) + \left( \sum_{}^{z}y\right)}\)
Przykładowo:
\(\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = \sum_{}^{2} \sum_{}^{3}5 = \left( 5+5+5\right) + \left( 5+5+5\right) = \left( 3+3+3+3+3\right) + \left( 5+5+5\right) }\)
6. Oznacza to, że przy zmianie czynników pierwszych na sumę, musimy wybrać jeden czynnik pierwszy który nie będzie miał właściwości "wewnętrznej" przemienności opisanej w punkcie 5. Mówiąc prosto, ze wszystkich czynników pierwszych jeden określa ilość tych nawiasów (w pkt. 5 rozpiska jest dla \(\displaystyle{ x=2}\) wybrałem ten czynnik dlatego w równaniu mamy dwie pary nawiasów. W praktyce oznacza to, że jeden wybrany czynnik pierwszy nie będzie mógł być składnikiem sumy a jedynie jej "parametrem ilościowym (mnożnym)" (użyty termin nie jest ściśle matematyczny).
7. Istotnym problemem jest to, jak obliczyć ilość wszystkich możliwych kombinacji składników dla podanej metody tak aby nie dublowały się z uwagi na przemienność dodawania. Ja obliczyłem, że dla podanego przykładu \(\displaystyle{ xyz = 3 \cdot 5 \cdot 7 }\) to \(\displaystyle{ 13}\):
Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 2}\) to mamy \(\displaystyle{ 3}\) możliwości:
1) same trójki,
2) same piątki,
3) trójki i piątki.
Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 3}\) to mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwości:
1) same dwójki
2) same piątki
3) dwójki, dwójki, piątki
4 dwójki, piątki, piątki
Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 5}\) to mamy \(\displaystyle{ 6}\) możliwości:
1) same trójki
2 same dwójki
3) 4 x dójki, trójki
4) 3 x dwójki, 2 x trójki
5) 2 x dwójki, 3 x trójki
6) 1 x dwójki, 4 x trójki
\(\displaystyle{ 3 + 4 + 6 = 13}\) - oczywiście obecność tylko 3 czynników pierwszych znacznie upraszcza obliczenia. Metoda wielokrotnie komplikuje się przy ich większej ilości.
8. Taka rozpiska składników (wg. danej ilości danych składników) jest istotna bo z nich, przy założeniu hipotezy powinno się dać zsumować 2 liczby pierwsze do których można sprowadzić sumę. Czynnik \(\displaystyle{ 2}\) może być niezwykle użyteczny dlatego na logikę lepiej byłoby nie wybierać go do "pierwszej sigmy" sumy sum.
Przykładowo:
dla \(\displaystyle{ 30 = \sum_{}^{3} \sum_{}^{2}5 = \left( \sum_{}^{2} 5\right) + \left( \sum_{}^{2} 5\right) + \left( \sum_{}^{5} 2\right) }\)
\(\displaystyle{ 30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+2+2+2+2) = 7 + 23\\
30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+\green{2}+\green{2}+2+2) = 11 + 19\\
30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+\green{2}+\green{2}+\green{2}+2) = 13 + 17}\)
9. Jeśli jest gdzieś błąd proszę o poprawkę. Jeśli, można usprawnić zapis matematyczny też. Jeśli przejścia z pkt. do pkt. nie są jasne też prośba uwagę. Wiem, że to bardzo proste dodawanie w sumie..., ale zależało mi na tym, by je implikować z fundamentalnego twierdzenia w odniesieniu do hipotezy. Myślę, że można znaleźć powiązanie między czynnikami pierwszymi liczby a pierwszymi tworzącymi sumę.
