Tak jak pisałem, nadal brakuje jednego przejścia:smo pisze: ↑18 cze 2021, o 14:23 niech \(\displaystyle{ f \subseteq X \times Y}\) będzie injekcją. Jeżeli \(\displaystyle{ \left( y, x_{1} \right),\left( y, x_{2} \right) \in f^{-1}}\) to \(\displaystyle{ \left( x_{1},y \right),\left( x_{2},y \right) \in f}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to \(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} }\), a zatem \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest funkcją. Niech \(\displaystyle{ \left( y_{1},x \right),\left( y_{2},x \right) \in f^{-1} \subseteq Y\times X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją to \(\displaystyle{ y_{1} = y_{2} }\), a wówczas \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest injekcją.
"Niech \(\displaystyle{ \left( y_{1},x \right),\left( y_{2},x \right) \in f^{-1} \subseteq Y\times X}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x, y_{1} \right),\left( x, y_{2} \right) \in f \subseteq Y\times X}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją, to \(\displaystyle{ y_{1} = y_{2} }\), czyli \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest injekcją."
Nieprawda.smo pisze: ↑18 cze 2021, o 14:23 Z def. złożenia relacji wynika, że \(\displaystyle{ f\circ f^{-1} \subseteq Y\times Y}\). Zatem \(\displaystyle{ f\circ f^{-1} \subseteq \left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y: y \in Y \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ f\circ f^{-1} =\left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y:\ istnieje\ x \in X\ takie,\ że\ \left( y,x\right) \in f^{-1}\ oraz\ \left( x,y\right) \in f \right\} }\).
Z definicji masz tylko \(\displaystyle{ f\circ f^{-1} =\left\{ \left( y_1,y_2\right) \in Y\times Y:(\exists x \in X)(\left( y_1,x\right) \in f^{-1}\land \left( x,y_2\right) \in f )\right\}. }\)
JK