matmatmm pisze: ↑14 lis 2020, o 21:14
Mondo pisze: ↑14 lis 2020, o 18:38
No nie zgadzam sie, po pierwsze sam zapis `\vec{O\alpha}` mówi iż jest to wektor od poczatku układu współrzędnych do punktu `\alpha`. Po drugie z mojeg rysunku widać iż `2\vec{O\alpha} \ne C+B `, widać iż jest to więcej niż suma wektorów `C` oraz `B`. Tzn jak napisałem było by to rówanie prawdą gdyby `O = A`. Zgadzamy się?
Podtrzymuję to co napisałem. Jeśli
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest punktem, to jakie według ciebie współrzędne ma wektor
\(\displaystyle{ \vec{O\alpha}}\) ? Po drugie
\(\displaystyle{ B+C}\) oznacza tutaj sumę współrzędnych
punktów \(\displaystyle{ B}\) i
\(\displaystyle{ C}\) (nie wektorów). Można też zgodnie z konwekcją autora napisać
\(\displaystyle{ B=\vec{OB},C=\vec{OC}}\). Wzór
\(\displaystyle{ B+C=2\alpha}\), czyli
\(\displaystyle{ \vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{O\alpha}}\) można też interpretować zgodnie z regułą równoległoboku.
Ok, problem polega na tym, że ja źle załozyłem, że wektorami są ściany boczne trójkąta czyli w moich obliczeniach wektor C to wektor o poczatku w punkcie `A` oraz koncu w punkcie `C`. I widać na moim rysunku (górny porawy róg), że oznaczyłem `2\alpha` w miejscu, gdzie tak naprawde jest `2(vec{O\alpha} - vec{OA})` zgadza się?
Generalnie mam takie pytanie, bo autor z miejsca pisze `3vec{OG} = A + 2vec{O\alpha}` - ja żeby dojśc do tego równania to musiałem zauwazyć, że wektor `vec{A\alpha}` = `vec{O\alpha} - vec{OA}`, a następnie zauwazyć, że jeśli na tym trójkącie zbudujemy równoległobok i zastosujemy na jego przekątnej proporcję dla punktu `G` to widać, ze `3*vec{AG} = 2*vec{A\alpha}` dzieki czemu uogólniając do całego układu wspłrzednych mogłem zapisać, że `2(vec{O\alpha} - vec{OA}) = 3 (\vec{OA} - \vec{OG})` z czego otrzymałem `3vec{OG} = 2vec{O\alpha} + vec{OA}`
Ale wszystko to dzieki uwaznej analizie rysunku, a autor napisał to sobie tak jakby było to oczywiste. Stąd też moje pytanie, czy wy też jesteście w stanie dostrzec równanie `3vec{OG} = 2vec{O\alpha} + vec{OA}` od razu czy autor po prostu robi spore skoki?
matmatmm pisze: ↑14 lis 2020, o 21:14
Jeśli bardzo chcesz, możesz przeprowadzić to rozumowanie dla dwóch pozostałych środkowych. Jako że jest ono w zasadzie identyczne z przedstawionym, można pozwolić sobie na taki skrót (słowo symetria tutaj nie ma nic wspólnego z przekształceniem płaszczyzny - jest to tzw. symetria założeń i tezy, ale to mam nadzieję wiesz).
Tak też uważam.
a4karo pisze: ↑14 lis 2020, o 21:39
Spróbuje to rozwiązać bez magicznej wiedzy o tym, gdzie się przecinają środkowe.
Oznaczmy przez `A'` środek `BC`, przez `B'` środek `CA`, przez `O` punkt przecięcia
\(\displaystyle{ AA'}\) i `BB'`.
Wtedy istnieją takie liczby rzeczywiste `\alpha, \beta`, że
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AA'}=\alpha\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)}\)
i
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BO}=\beta\overrightarrow{BB'}=\beta\left(\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\right)}\)
a4karo, widze potencjał w tym rozwiązaniu ale mam z nim problem -
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/d897e0adc48e044f7f34a2b1c5fe952f.png
oznaczyłem znakiem zapytanie kłopotliwe równanie. Skąd dostajesz
\(\displaystyle{ \alpha\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)}\)? Ja bym zapisał, bazując na moim rysunku z linku powyżej, że
\(\displaystyle{ \vec{BA`} = \vec{CA`} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC})}\) - a z tego można już zapisać wzór na
\(\displaystyle{ \vec{AA'}}\) z tw. Pitagorasa.
Podobnie
\(\displaystyle{ (*)\quad\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}}\) też nie rozumiem z czego to wziales? Przecież już wiemy, że ten punkt srodkowy `G`, czy tak jak u Ciebie nazwany `O` (troche niefortunnie bo myli się z poczatkiem układu wspołrzednych) to `\frac{1}{3}( A + B +C)`.