Wielomiany zadania dowodowe

[slabymatematyk99]

Hej, nie miałem jeszcze metody Cardana, także rozwiązywanie zadań tym sposobem odpada proszę o pomoc, naprawdę nie wiem jak te zadania zrobić:
1.Wykazać, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c}\)ma trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące ciąg arytmetyczny to \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a^3}\) Próbowałem to zadanie zrobić tak, że te pierwiastki \(\displaystyle{ x_0-+r, x_0+2r}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ a=1, b=6, c=11, d=6}\) co nie zgadza się

2. Udowodnić, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ x^3+ax+b}\) ma trzy pierwiastki to \(\displaystyle{ a \le 0}\)

3.Znaleźć wielomian stopnia trzeciego ktorego pierwiastkami są kwadraty pierwiastkó wielomiany \(\displaystyle{ x^3+x^2-2x-1}\)

[Premislav]

Jaka ma być ta formuła w zadaniu pierwszym? Czy chodzi o \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a^{3}}\)
Ja bym zapisał te pierwiastki jako \(\displaystyle{ x_{0}-r, \ x_{0}, \ x_{0}+r, \ r>0}\)
i dalej jedziemy ze wzorów Viete'a. Na ich podstawie możemy sobie zapisać
\(\displaystyle{ 3x_{0}=-a, \ x_{0}(x_{0}+r)+x_{0}(x_{0}-r)+(x_{0}+r)(x_{0}-r)=b, \ x_{0}(x_{0}-r)(x_{0}+r)=-c}\)

Z pierwszego wzoru wyznaczamy \(\displaystyle{ x_{0}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\), wstawiamy do drugiego wzoru, wyznaczamy zeń \(\displaystyle{ r}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\), otrzymane zależności wstawiamy do trzeciego wzoru i jak teza jest prawdziwa w tej formie, to powinno wyjść. Serio, większej filozofii tu nie ma.

W drugim zauważ, że gdyby \(\displaystyle{ a>0}\), to pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+ax+b}\) byłaby dodatnia, zatem funkcja byłaby rosnąca, czyli wielomian miałby najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty (w istocie dokładnie jeden).

[slabymatematyk99]

tak chodziło o taką równość, ale czy 2 zadanie wystarczy napisać to co jest poniżej? czy kombinać coś z pochodną? w 3 zadaniu sobie narysowałem ten wykres w geogebrze jednak jak znaleźć pierwiastki tego wielomianu?

[a4karo]

W c) nie musisz szukać pierwiastkow. Użyj wzorów Viete'a

[Dasio11]

Z pierwszego wzoru wyznaczamy \(\displaystyle{ x_{0}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\), wstawiamy do drugiego wzoru, wyznaczamy zeń \(\displaystyle{ r}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\), otrzymane zależności wstawiamy do trzeciego wzoru i jak teza jest prawdziwa w tej formie, to powinno wyjść.

Nie trzeba niczego wyznaczać - wystarczy otrzymane \(\displaystyle{ a, b, c}\) podstawić do żądanej równości i stwierdzić, że wychodzi tożsamość.

[slabymatematyk99]

W c) nie musisz szukać pierwiastkow. Użyj wzorów Viete'a

wyszło mi \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=5}\) i co mam dalej z tym zrobić bo nie bardzo wiem?

[a4karo]

Wyraź `x_1^2+x_2^2+x_3^2`, `x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2` oraz `x_1^2x_2^2x_3^2` przez `x_1+x_2+x_3`, `x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1` oraz `x_1x_2x_3`. (pierwsze juz masz, trzecie jest proste, drugie wymaga troche gimnastyki.

[Dasio11]

Można też tak: skoro

\(\displaystyle{ p(x) = x^3+x^2-2x-1 = (x-u)(x-v)(x-w)}\),

to

\(\displaystyle{ \begin{align*}
(x-u^2)(x-v^2)(x-w^2) & = \big( \sqrt{x}-u \big) \big( \sqrt{x}+u \big) \big( \sqrt{x}-v \big) \big( \sqrt{x}+v \big) \big( \sqrt{x}-w \big) \big( \sqrt{x}+w \big) \\
& = p \big( \sqrt{x} \big) \cdot \big( {-}p \big( {-}\sqrt{x} \big) \big) = -\big( \sqrt{x}^3 - 2 \sqrt{x} + x - 1 \big) \big( -\sqrt{x}^3 + 2 \sqrt{x} + x - 1 \big)
\end{align*}}\)

i wystarczy uprościć. Dla ułatwienia rachunków można skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ -(a+b)(-a+b) = a^2 - b^2}\).

[a4karo]

Można też tak: skoro

\(\displaystyle{ p(x) = x^3+x^2-2x-1 = (x-u)(x-v)(x-w)}\),

to

\(\displaystyle{ \begin{align*}
(x-u^2)(x-v^2)(x-w^2) & = \big( \sqrt{x}-u \big) \big( \sqrt{x}+u \big) \big( \sqrt{x}-v \big) \big( \sqrt{x}+v \big) \big( \sqrt{x}-w \big) \big( \sqrt{x}+w \big) \\
& = p \big( \sqrt{x} \big) \cdot \big( {-}p \big( {-}\sqrt{x} \big) \big) = -\big( \sqrt{x}^3 - 2 \sqrt{x} + x - 1 \big) \big( -\sqrt{x}^3 + 2 \sqrt{x} + x - 1 \big)
\end{align*}}\)

i wystarczy uprościć. Dla ułatwienia rachunków można skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ -(a+b)(-a+b) = a^2 - b^2}\).

A czym jest `\sqrt x` gdy `u<0`?

[Dasio11]

Nie wiem co ma do tego warunek \(\displaystyle{ u<0}\), ale \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest wyrażeniem algebraicznym, którego kwadrat daje \(\displaystyle{ x}\).