Rozwiązanie równania 3. stopnia

[Mendzik]

Dzień dobry
Szukam rozwiązań dla takiego równania: \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\). Próbowałam wzorami Vieta, ale nie daję rady. Mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?

Z góry dziękuję ślicznie za poświęcony czas.

[a4karo]

Spróbuj wklepać w przeglądarkę "rozwiązanie równania trzeciego stopnia".

[Mendzik]

Uwierz, że ostatnie co robię, to pisanie tu posta. Próbowałam sobie sama z tym poradzić i widocznie nie daję rady. To nie Twój pierwszy post o pasywno agresywnym tonie w stosunku do innych osób. Także bardzo uprzejmie proszę nie wypisywać takich rzeczy, jeśli się nie ma nic innego do powiedzenia. A druga sprawa - zapraszam do wpisania do google "rozwiązanie równania 3. stopnia" i spróbowania rozwiązania tego konkretnego przykładu, pewnie szybko Ci się uda.

Jeśli inna osoba niż a4karo może pomóc, naprowadzić na sposób rozwiązania, będę wdzięczna

[matmatmm]

Powinnaś wiedzieć, że nie każde równanie trzeciego stopnia da się rozwiązać "szkolnymi" metodami - czasem nie da się jawnie zapisać rozwiązań bez użycia liczb zespolonych i tzw. wzorów Cardano (jest to dość paradoksalne, gdy pierwiastki są rzeczywiste).

JEDNAK poszperałem w Internetach i znalazłem ogólny sposób rozwiązywania równań trzeciego stopnia, gdzie rozwiązania wyrażają się przy pomocy funkcji trygonometrycznych, a biorąc pod uwagę pochodzenie tego równania, pewnie właśnie to Cię zainteresuje.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne#Pierwiastki_rzeczywiste_r%C3%B3wnania_kanonicznego_o_wsp%C3%B3%C5%82czynnikach_rzeczywistych

Swoją drogą nie wiedziałem, że równania trzeciego stopnia można zawsze tak "ładnie" rozwiązać.

[Mendzik]

Tak, już wiem, że nie wszystkie równania da się rozwiązać, jak wspomniałeś, szkolnymi metodami Stąd moja uwaga do a2karo - w Internecie przedstawione są głównie szkolne metody.

Dziękuję za szczególne zainteresowanie się tym tematem i życzę miłego dnia ;3

[Jan Kraszewski]

A druga sprawa - zapraszam do wpisania do google "rozwiązanie równania 3. stopnia" i spróbowania rozwiązania tego konkretnego przykładu, pewnie szybko Ci się uda.

Naprawdę myślisz, że internet da Ci łatwe rozwiązanie konkretnego równania? Skorzystanie z wujka Googla w pierwszym linku kieruje Cię na Wikipedię, gdzie masz dokładnie opisaną ogólną metodę rozwiązywania takich równań, która możesz sama zastosować. Tamże jest zalinkowana przez matmatmm wersja. Zatem rada, którą otrzymałaś, zapewnia Ci cały zestaw narzędzi niezbędny do rozwiązania tego równania. Zamiast zatem oburzać się na a4karo (który dał Ci dobrą radę) mogłaś sprecyzować, co w tych metodach sprawia Ci kłopot - próbowałaś ich w ogóle użyć?

Stąd moja uwaga do a2karo - w Internecie przedstawione są głównie szkolne metody.

To chyba używamy innego internetu...

JK

[Mendzik]

Chciałam jedynie zwrócić uwagę na to, że to forum to nie jest moja pierwsza, ale ostatnia linia ratunku (i ma tak większość osób, które tu proszą o pomoc). Widocznie nie znalazłam na internecie informacji, która mogłaby mi pomóc (źle szukałam?). Ale racja - powinnam była napisać, których metod próbowałam użyć (np. wzory Vieta) i z czym jest tam problem.

I przeprosiny lecą do a4karo, że pisałam a2karo - niechcący.

Pozdrawiam

[Dilectus]

Mendzik, looknij tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne

, zwłaszcza na rozdział Rozwiązywanie równań kanonicznych.

A swoją drogą trzy pierwiastki tego równania są najprawdopodobniej niewymierne - wiem, bo narysowałem wykres.

[Psiaczek]

tu zaglądałaś?

Równanie 3 stopnia

tam właśnie jest o tej metodzie, a że jest taka a nie inna, bo wzory na sinus i cosinus potrojonego kąta są takie a nie inne

[Mendzik]

Dziękuję, zajrzenie do tego posta bardzo pomogło; nie przyszłoby mi do głowy takie rozwiązanie dobrze znać je na przyszłość.

[a4karo]

Dziękuję, zajrzenie do tego posta bardzo pomogło; nie przyszłoby mi do głowy takie rozwiązanie dobrze znać je na przyszłość.

Ciekaw bardzo jestem, czy zastosowałaś tę "metodę" do Twojego zadania. Bo to jest sztuczka, która zadziałała akurat w tym konkretnym przypadku.

To nie Twój pierwszy post o pasywno agresywnym tonie w stosunku do innych osób

Czy uważasz, że gdy na prośbę 5-letniej Mendzik "Mamo, daj mi wode" ta odpowie "kubki są w szafce, a woda w butelce", to mama była pasywnie agresywna w stosunku do Ciebie?:

Skoro z taką uwaga śledzisz moje posty, to pewnie czytasz też inne. A tego typu pytań, które zadałaś było na tym forum mnóstwo: mariuszm co najmniej kilka razy opisywał sposób ich rozwiązania. Opisywanie po raz kolejny tego sposobu nic nie wnosi.

Może zatem szukasz pierwiastków i nie obchodzi Cię metoda - wtedy masz mnóstwo stron, które potrafią rozwiązać takie równanie. Wyszukanie ich i przepisanie rozwiązań nie przekracza umiejętności licealisty.

No chyba że 24-letnia Mendzik odpowie: Matka, ja wody chcę a nie instrukcji.

[Mendzik]

Szperając na stronach, do których linki podrzucili mi dobrodzieje, udało mi się znaleźć metodę. Podstawianie zadziałało; wynik wyszedł taki, jaki być powinien. Tym bardziej że to jest fragment zadania o poszukiwaniu kąta i je się z tym, co podpowiadali użytkownicy w innych postach dotyczących zadania z geometrii.

Co do Twojej pierwszej wypowiedzi i ciekawej metaforze o wodzie (przy czym myślę, że siłą rzeczy czasami każdy z nas chce „gotowy” kubek z wodą ) - chodziło mi zwyczajnie o to, że błędnie czasami zakładasz, że ludzie nie korzystają z najprostszych rozwiązań. Bo korzystają - tylko nie zawsze to wychodzi. I tak, mi nie wyszło; już to przyznałam.

[Mariusz M]

@Psiaczek skoro @Mendzik otrzymała to równanie z próby znalezienia wartości trygonometrycznych jednej trzeciej kąta
to to rozwiązanie będzie trochę kołowe
Z równania trzeciego stopnia możesz uzyskać jedynie rozwiązanie w postaci zespolonych pierwiastników

\(\displaystyle{ t^3-3t+1=0\\
t=u+v\\
\left( u+v\right)^3-3\left( u+v\right) +1=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-3\left( u+v\right) +1=0\\
u^3+v^3+1+3uv\left( u+v\right)-3\left( u+v\right)\\
u^3+v^3+1+3\left( u+v\right)\left( uv-1\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+1=0 \\uv-1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-1 \\uv=1 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-1 \\u^3v^3=1 \end{cases} \\
z^2+z+1=0\\
z_{1,2}=\frac{-1 \mp \sqrt{3}i }{2}\\
z_{1,2}=\frac{-4 \mp 4\sqrt{3}i }{8}\\
t=\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{-4- 4\sqrt{3}i }+ \sqrt[3]{-4+ 4\sqrt{3}i } \right)
}\)

Teraz już raczej niewiele da się zrobić bo gdybyśmy chcieli liczyć ze wzoru de Moivre to doszlibyśmy do tego od czego zaczynaliśmy