Liczby pierwsze
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 8 lis 2014, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Liczby pierwsze
Witam.
Czy oprócz liczb pierwszych \(\displaystyle{ 11}\) i \(\displaystyle{ 101}\) , występują inne liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 10^{n} +1}\) ? jeżeli tak to proszę o link.
Czy oprócz liczb pierwszych \(\displaystyle{ 11}\) i \(\displaystyle{ 101}\) , występują inne liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 10^{n} +1}\) ? jeżeli tak to proszę o link.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Liczby pierwsze
Obawiam się, że nie wiadomo. Rzecz jasna, jeśli wykładnik dziesiątki \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ r}\) większy niż jeden, to możemy skorzystać ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ r}\)-tych potęg, by uzasadnić złożoność. Zatem jedyna możliwość na liczbę pierwszą postulowanej postaci, to
\(\displaystyle{ 10^{2^{i}}+1, \ i\in \NN}\) (dla \(\displaystyle{ i=0}\) otrzymujemy jedenaście, dla \(\displaystyle{ i=1}\) mamy sto jeden). Pozostaje więc sprawdzać liczby takiej postaci, które oczywiście niestety rosną bardzo szybko.
No i tutaj moce wolframa dość szybko się kończą, nic więcej nie wymyślę. See also:
\(\displaystyle{ 10^{2^{i}}+1, \ i\in \NN}\) (dla \(\displaystyle{ i=0}\) otrzymujemy jedenaście, dla \(\displaystyle{ i=1}\) mamy sto jeden). Pozostaje więc sprawdzać liczby takiej postaci, które oczywiście niestety rosną bardzo szybko.
No i tutaj moce wolframa dość szybko się kończą, nic więcej nie wymyślę. See also:
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/2108085/is-there-a-prime-which-is-the-form-of-10n-1-except-2-11-101
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 675
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 211 razy
Re: Liczby pierwsze
Albo, bezpośrednio z cechy, zauważyć podzielność przez \(\displaystyle{ 11}\).
Pozdrawiam
Przez \(\displaystyle{ 11}\) dzielą się te liczby naturalne, dla których różnica sum cyfr rzędów parzystych i nieparzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Liczby pierwsze
Ciekawe zagadnienie.
Specyficzna postać liczby ma związek z zastosowanym systemem liczbowym. Nie powinno to mieć wpływu na samo pierwszeństwo liczby.
Sprawdziłem dla spokoju ducha parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+3}\).
Dla tych liczb wynik jest nieco odmienny.
Liczby
\(\displaystyle{ 10^1+3}\), \(\displaystyle{ 10^2+3}\), \(\displaystyle{ 10^5+3}\),\(\displaystyle{ 10^6+3}\), \(\displaystyle{ 10^{11}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{17}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{39}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{101}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{105}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{107}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{123}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{413}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{426}+3}\)
są pierwsze a dalej posucha.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+7}\).
\(\displaystyle{ 10^1+7}\), \(\displaystyle{ 10^2+7}\), \(\displaystyle{ 10^4+7}\), \(\displaystyle{ 10^8+7}\), \(\displaystyle{ 10^9+7}\), \(\displaystyle{ 10^{24}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{60}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{110}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{134}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{222}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{412}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{700}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{999}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{1383}+7}\)
są pierwsze.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+9}\).
\(\displaystyle{ 10^1+9}\), \(\displaystyle{ 10^2+9}\), \(\displaystyle{ 10^3+9}\), \(\displaystyle{ 10^4+9}\), \(\displaystyle{ 10^9+9}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{22}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{45}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{49}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{69}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{146}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{202}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{272}+9}\),
W porównaniu do postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) wygląda to odmiennie.
Dodano po 22 godzinach 22 minutach 54 sekundach:
Odnośnie podzielności liczby w postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) przez \(\displaystyle{ 43}\) To na chwilę obecną wszystkie liczby do \(\displaystyle{ 10^{146000}+1}\) nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 43}\). Jeszcze trochę poczekam przed zatrzymaniem programu.
Dodano po 8 godzinach 10 minutach 19 sekundach:
Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości \(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę \(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?
Prawidłowość jest następująca.
\(\displaystyle{ f(x)=10^x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)\mid {f(3x+k2x)}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Dodano po 31 minutach 42 sekundach:
Zapiszę to inaczej
\(\displaystyle{ {10^i+1}\mid {10^{i(3+2k)}+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\) oraz \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
przykładowo
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {1000000000000001}}\)
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
Specyficzna postać liczby ma związek z zastosowanym systemem liczbowym. Nie powinno to mieć wpływu na samo pierwszeństwo liczby.
Sprawdziłem dla spokoju ducha parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+3}\).
Dla tych liczb wynik jest nieco odmienny.
Liczby
\(\displaystyle{ 10^1+3}\), \(\displaystyle{ 10^2+3}\), \(\displaystyle{ 10^5+3}\),\(\displaystyle{ 10^6+3}\), \(\displaystyle{ 10^{11}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{17}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{39}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{101}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{105}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{107}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{123}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{413}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{426}+3}\)
są pierwsze a dalej posucha.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+7}\).
\(\displaystyle{ 10^1+7}\), \(\displaystyle{ 10^2+7}\), \(\displaystyle{ 10^4+7}\), \(\displaystyle{ 10^8+7}\), \(\displaystyle{ 10^9+7}\), \(\displaystyle{ 10^{24}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{60}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{110}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{134}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{222}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{412}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{700}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{999}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{1383}+7}\)
są pierwsze.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+9}\).
\(\displaystyle{ 10^1+9}\), \(\displaystyle{ 10^2+9}\), \(\displaystyle{ 10^3+9}\), \(\displaystyle{ 10^4+9}\), \(\displaystyle{ 10^9+9}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{22}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{45}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{49}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{69}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{146}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{202}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{272}+9}\),
W porównaniu do postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) wygląda to odmiennie.
Dodano po 22 godzinach 22 minutach 54 sekundach:
Odnośnie podzielności liczby w postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) przez \(\displaystyle{ 43}\) To na chwilę obecną wszystkie liczby do \(\displaystyle{ 10^{146000}+1}\) nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 43}\). Jeszcze trochę poczekam przed zatrzymaniem programu.
Dodano po 8 godzinach 10 minutach 19 sekundach:
Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości \(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę \(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?
Prawidłowość jest następująca.
\(\displaystyle{ f(x)=10^x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)\mid {f(3x+k2x)}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Dodano po 31 minutach 42 sekundach:
Zapiszę to inaczej
\(\displaystyle{ {10^i+1}\mid {10^{i(3+2k)}+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\) oraz \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
przykładowo
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {1000000000000001}}\)
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Liczby pierwsze
W podanej postaci przedstawiają się wszystkie liczby z wyjątkiem potęg dwójki, a Twoją prawidłowość opisał już Premislav w pierwszym poście.Brombal pisze: ↑21 paź 2020, o 16:24Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości \(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę \(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Liczby pierwsze
No to się naodkrywałem prawidłowości .
Chociaż właściwie to dodałem ułatwienie jak znaleźć liczbę dzielącą daną
przykładowo
\(\displaystyle{ {10^{1234567890}+1} \mid {10^{20 989 657 130}+1}}\)
Dodano po 15 godzinach 19 minutach 50 sekundach:
Korzystając z właściwości - dla Kera
\(\displaystyle{ {10753}\mid{10^{256}+1}\mid{10^{100000000}+1}}\)
Chociaż właściwie to dodałem ułatwienie jak znaleźć liczbę dzielącą daną
przykładowo
\(\displaystyle{ {10^{1234567890}+1} \mid {10^{20 989 657 130}+1}}\)
Dodano po 15 godzinach 19 minutach 50 sekundach:
Korzystając z właściwości - dla Kera
\(\displaystyle{ {10753}\mid{10^{256}+1}\mid{10^{100000000}+1}}\)