Poprawność zapisu formalnego

[mwrooo]

Niech \(\displaystyle{ X=\{1,2,3,4,5,6\}}\). Rozważmy następujący zbiór
\(\displaystyle{ A=\{\{a,b,c\}\subset X; \{a,b,c\}\subset\{1,2,3\}\vee\{a,b,c\}\subset\{4,5,6\}\}}\).
Niech \(\displaystyle{ B=\{2,3,4\}}\). Czy powyższy opis zbioru A wystarczy, żeby B nie należał do A?

[a4karo]

Wypisz sobie wszystkie elementy `A` (nie ma ich wiele) i sprawdź.

[mwrooo]

Kiedy właśnie nie wiem czy ten zapis zabezpiecza fakt, że wybrana trójka może być tylko albo mniejsza niż 4 albo większa niż 3. I w zasadzie o to mi chodzi.

[a4karo]

No to sprawdź czy `\{2,5\}` spełnia ten warunek

[matmatmm]

Rozważmy następujący zbiór
\(\displaystyle{ A=\{\{a,b,c\}\subset X; \{a,b,c\}\subset\{1,2,3\}\vee\{a,b,c\}\subset\{4,5,6\}\}}\).

Ten zapis chyba jednak jest niepoprawny. Zbiór powinno się opisywać według schematu:

\(\displaystyle{ A=\{t\in T: \phi(t)\}}\)
, gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest pewną funkcją zdaniową zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Innymi słowy jest to własność, która wyróżnia elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) ze zbioru \(\displaystyle{ T}\):

\(\displaystyle{ \forall_{t}\left(t\in A \iff (t\in T \wedge \phi(t))\right)}\)

W twoim przypadku zapis należałoby rozumieć:

\(\displaystyle{ A}\) składa się z wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ t}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\) niepustych, co najwyżej trójelementowych i takich, że \(\displaystyle{ t\subset \{1,2,3\}}\) lub \(\displaystyle{ t\subset \{4,5,6\}}\) tzn.

\(\displaystyle{ A=\left\{t\in 2^X: t\neq\emptyset \wedge |t|\leq 3\wedge\left( t\subset \{1,2,3\} \vee t\subset \{4,5,6\}\right)\right\}}\)

Warunek \(\displaystyle{ |t|\leq 3}\) można opuścić, a zapis \(\displaystyle{ t\in 2^X}\) można zastąpić przez \(\displaystyle{ t\subset X}\). W rezultacie:

\(\displaystyle{ A=\{t\subset X: t\neq\emptyset\wedge\left( t\subset \{1,2,3\} \vee t\subset \{4,5,6\}\right)\}}\)

[a4karo]

Czemu niepustych?

[Jan Kraszewski]

Czemu niepustych?

Bo zapis \(\displaystyle{ \{a,b,c\}}\), użyty niepoprawnie w roli zmiennej niezależnej, zdecydowanie sugeruje niepustość tego zbioru.

JK

[a4karo]

Dla mnie `\{\}` podpada pod ten schemat.

[Jan Kraszewski]

Dla mnie jednak nie, zapis \(\displaystyle{ \{a,b,c\}}\) oznacza zbiór, który ma jakieś elementy (niewykluczone, że intencją był nawet zbiór dokładnie trzyelementowy).

JK

[a4karo]

Z zupełnej przekory zapytam dlaczego `t` może być SYMBOLEM użytym w definicji zbioru, a `\{a,b,c\}` nie ?

[Jan Kraszewski]

Bo jednak \(\displaystyle{ \{a,b,c\}}\) jest ciągiem symboli o pewnym ustalonym znaczeniu i należy dodatkowo podejrzewać, że jego postać miała nieść dodatkową informację o definiowanym zbiorze. Nie jest dobrze, gdy zmienną niezależną oznaczamy jako \(\displaystyle{ \{a,b,c\}}\).

JK

[mwrooo]

Chcę po prostu rozpatrywać rodzinę zbiorów mocy 3 danego, określonego zbioru, w które występują zbiory rozłączne. Jak napisać, że faktycznie te zbiory muszą spełniać jedno z dwóch alternatywnych kryteriów?

[Jan Kraszewski]

Prawie tak, jak napisał Ci matmatmm:

\(\displaystyle{ A=\{t\subset X: |t|=3\wedge\left( t\subset \{1,2,3\} \vee t\subset \{4,5,6\}\right)\}.}\)

Choć jeśli chcesz rozpatrywać dokładnie zbiory trzyelementowe, to sytuacja trywializuje się, bo

\(\displaystyle{ t\subset \{1,2,3\}\iff t= \{1,2,3\}}\)

i tak samo z drugim warunkiem, więc dostajesz

\(\displaystyle{ A=\{t\subset X: |t|=3\wedge\left( t= \{1,2,3\} \vee t= \{4,5,6\}\right)\},}\)

czyli po prostu

\(\displaystyle{ A=\{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}\}.}\)

Jeżeli nie o to Ci chodziło, to musisz dokładniej opisać swoje zamiary.

JK

[mwrooo]

Dokładnie o to mi chodziło, nie wiedziałem tylko czy może być to zapisane w postaci takiej alternatywy. Dziękuję.