Ciągłość: sinus i cecha.
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Ciągłość: sinus i cecha.
Hej, kiedyś dawno trochę granic z cechą robiłem, zwykle wychodziło to jakoś z góry, z dołu szacując; ale się zatknąłem na czymś takim wczoraj:
\(\displaystyle{ f(x)=\left[x\right]\sin(x\pi)}\)
W punktach niecałkowitych zawsze mamy takie ich otoczenie \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ f(x)=k\sin(x\pi)}\) dla \(\displaystyle{ x\in U}\) - widać, że ciągła (\(\displaystyle{ k\leq x}\) - l. całkowita).
W punktach całkowitych szczerze mówiąc pierwsza intuicja była, że jest nieciągła, ale porysowałem wykres, potwierdziłem wolframem i wygląda że jest ciągła
Ale nie idzie mi coś arytmetycznie pokazać tę ciągłość :C Jak się zabierać do takiego czegoś?
W pewnym otoczeniu prawostronnym punktu całkowitego jasne, że sinus jest przemnożony przez stałą liczbę jak poprzednio (i f. prawostronnie ciągła), ale z prawej to tylko „widzę” na wykresie.
Próbowałem jakieś szacowanie wymyślić, dość „ciasne”, żeby przy \(\displaystyle{ t\to x}\) wyszło mi \(\displaystyle{ f(t)\to f(x)}\) ale coś mi się nie klei... Coś daje to, że ten sinus jest „ściśnięty” przez to \(\displaystyle{ \pi}\)?
\(\displaystyle{ f(x)=\left[x\right]\sin(x\pi)}\)
W punktach niecałkowitych zawsze mamy takie ich otoczenie \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ f(x)=k\sin(x\pi)}\) dla \(\displaystyle{ x\in U}\) - widać, że ciągła (\(\displaystyle{ k\leq x}\) - l. całkowita).
W punktach całkowitych szczerze mówiąc pierwsza intuicja była, że jest nieciągła, ale porysowałem wykres, potwierdziłem wolframem i wygląda że jest ciągła
Ale nie idzie mi coś arytmetycznie pokazać tę ciągłość :C Jak się zabierać do takiego czegoś?
W pewnym otoczeniu prawostronnym punktu całkowitego jasne, że sinus jest przemnożony przez stałą liczbę jak poprzednio (i f. prawostronnie ciągła), ale z prawej to tylko „widzę” na wykresie.
Próbowałem jakieś szacowanie wymyślić, dość „ciasne”, żeby przy \(\displaystyle{ t\to x}\) wyszło mi \(\displaystyle{ f(t)\to f(x)}\) ale coś mi się nie klei... Coś daje to, że ten sinus jest „ściśnięty” przez to \(\displaystyle{ \pi}\)?
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Ciągłość: sinus i cecha.
Dopiero dziś mam moment znowu siąść
Tak bym to w takim razie porachował:
Niech \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) - chcę sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0\left(=[x]\sin(\pi x)\right)}\).
Gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\), to \(\displaystyle{ x-1\leq\; [\; t\; ]\leq x}\).
Mogę (?) oszacować:
\(\displaystyle{ (x-1)\sin(\pi t)\leq \; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq x\sin(\pi t)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; (x-1)\sin(\pi t)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}x\sin(\pi t)=0}\)
(mam przy tych granicach na uwadze, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) ustalone)
Więc z oszacowania i powyższych granic wnioskuję, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0}\).
Nie przeoczyłem czegoś? Dzięki raz jeszcze.
No tak, dzięki wielkie! Nie popatrzyłem oczywiście.
Tak bym to w takim razie porachował:
Niech \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) - chcę sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0\left(=[x]\sin(\pi x)\right)}\).
Gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\), to \(\displaystyle{ x-1\leq\; [\; t\; ]\leq x}\).
Mogę (?) oszacować:
\(\displaystyle{ (x-1)\sin(\pi t)\leq \; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq x\sin(\pi t)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; (x-1)\sin(\pi t)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}x\sin(\pi t)=0}\)
(mam przy tych granicach na uwadze, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) ustalone)
Więc z oszacowania i powyższych granic wnioskuję, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0}\).
Nie przeoczyłem czegoś? Dzięki raz jeszcze.
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Ciągłość: sinus i cecha.
Dobra, znak się może zmienić - żenada z mojej strony.
Taki ruch znam (rozumiem) np. i próbowałem:
\(\displaystyle{ (*) \; -|[\; t\; ]\sin(\pi t)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq| [\; t\; ]\sin(\pi t)|}\)
i moduł jest multiplikatywny.
Ale dalej tylko mi przychodzi do głowy przerabianie \(\displaystyle{ x-1\leq [\; t\; ]\leq x}\) (\(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\))
\(\displaystyle{ |[\;t\;]|\leq |x| }\) tylko gdy \(\displaystyle{ t>0}\) i dla \(\displaystyle{ t<0}\) nierówność się odwraca.
\(\displaystyle{ |x-1|\geq |[\;t\;]| }\) tylko dla \(\displaystyle{ t<0}\) i dla \(\displaystyle{ t>0}\) nierówność się odwraca..
Z \(\displaystyle{ (*)}\) dwa przypadki?:
\(\displaystyle{ -|x-1||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ >0}\)
\(\displaystyle{ -|x||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x-1||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ <0}\)?
Taki ruch znam (rozumiem) np. i próbowałem:
\(\displaystyle{ (*) \; -|[\; t\; ]\sin(\pi t)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq| [\; t\; ]\sin(\pi t)|}\)
i moduł jest multiplikatywny.
Ale dalej tylko mi przychodzi do głowy przerabianie \(\displaystyle{ x-1\leq [\; t\; ]\leq x}\) (\(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\))
\(\displaystyle{ |[\;t\;]|\leq |x| }\) tylko gdy \(\displaystyle{ t>0}\) i dla \(\displaystyle{ t<0}\) nierówność się odwraca.
\(\displaystyle{ |x-1|\geq |[\;t\;]| }\) tylko dla \(\displaystyle{ t<0}\) i dla \(\displaystyle{ t>0}\) nierówność się odwraca..
Z \(\displaystyle{ (*)}\) dwa przypadki?:
\(\displaystyle{ -|x-1||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ >0}\)
\(\displaystyle{ -|x||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x-1||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ <0}\)?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Ciągłość: sinus i cecha.
Można po prostu tak:
\(\displaystyle{ \left| [\; t\; ]\sin(\pi t)\right| \le \left| t+1\right| \cdot \left| \sin \left( \pi t\right) \right| \rightarrow 0 }\)
gdy \(\displaystyle{ t\to x\ni\ZZ}\)
\(\displaystyle{ \left| [\; t\; ]\sin(\pi t)\right| \le \left| t+1\right| \cdot \left| \sin \left( \pi t\right) \right| \rightarrow 0 }\)
gdy \(\displaystyle{ t\to x\ni\ZZ}\)
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Ciągłość: sinus i cecha.
Cóż, w każdym razie ja najpierw sobie za bardzo uprościłem a potem wyraźnie przekomplikowałem. Tak typowo po mojemu - dzięki więc wam obu za wskazania