Ciągłość: sinus i cecha.

[Zaratustra]

Hej, kiedyś dawno trochę granic z cechą robiłem, zwykle wychodziło to jakoś z góry, z dołu szacując; ale się zatknąłem na czymś takim wczoraj:
\(\displaystyle{ f(x)=\left[x\right]\sin(x\pi)}\)
W punktach niecałkowitych zawsze mamy takie ich otoczenie \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ f(x)=k\sin(x\pi)}\) dla \(\displaystyle{ x\in U}\) - widać, że ciągła (\(\displaystyle{ k\leq x}\) - l. całkowita).
W punktach całkowitych szczerze mówiąc pierwsza intuicja była, że jest nieciągła, ale porysowałem wykres, potwierdziłem wolframem i wygląda że jest ciągła

Ale nie idzie mi coś arytmetycznie pokazać tę ciągłość :C Jak się zabierać do takiego czegoś?
W pewnym otoczeniu prawostronnym punktu całkowitego jasne, że sinus jest przemnożony przez stałą liczbę jak poprzednio (i f. prawostronnie ciągła), ale z prawej to tylko „widzę” na wykresie.
Próbowałem jakieś szacowanie wymyślić, dość „ciasne”, żeby przy \(\displaystyle{ t\to x}\) wyszło mi \(\displaystyle{ f(t)\to f(x)}\) ale coś mi się nie klei... Coś daje to, że ten sinus jest „ściśnięty” przez to \(\displaystyle{ \pi}\)?

[a4karo]

Zauważ że w punktach całkowitych sinus się zeruje i właśnie to 'zabija' nieciaglosc. Szczegóły rachunkowe dopracujesz

[Zaratustra]

Dopiero dziś mam moment znowu siąść

Zauważ że w punktach całkowitych sinus się zeruje i właśnie to 'zabija' nieciaglosc. Szczegóły rachunkowe dopracujesz

No tak, dzięki wielkie! Nie popatrzyłem oczywiście.

Tak bym to w takim razie porachował:

Niech \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) - chcę sprawdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0\left(=[x]\sin(\pi x)\right)}\).

Gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\), to \(\displaystyle{ x-1\leq\; [\; t\; ]\leq x}\).

Mogę (?) oszacować:

\(\displaystyle{ (x-1)\sin(\pi t)\leq \; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq x\sin(\pi t)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; (x-1)\sin(\pi t)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to x}x\sin(\pi t)=0}\)
(mam przy tych granicach na uwadze, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) ustalone)

Więc z oszacowania i powyższych granic wnioskuję, że \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\; [\; t\; ]\sin(\pi t)=0}\).

Nie przeoczyłem czegoś? Dzięki raz jeszcze.

[a4karo]

Sinus nie musi być dodatni, więc to mnożenie podwójnej nierówności nie jest poprawne. Ale jesteś blisko

[Zaratustra]

Dobra, znak się może zmienić - żenada z mojej strony.

Taki ruch znam (rozumiem) np. i próbowałem:
\(\displaystyle{ (*) \; -|[\; t\; ]\sin(\pi t)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq| [\; t\; ]\sin(\pi t)|}\)
i moduł jest multiplikatywny.

Ale dalej tylko mi przychodzi do głowy przerabianie \(\displaystyle{ x-1\leq [\; t\; ]\leq x}\) (\(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\))

\(\displaystyle{ |[\;t\;]|\leq |x| }\) tylko gdy \(\displaystyle{ t>0}\) i dla \(\displaystyle{ t<0}\) nierówność się odwraca.
\(\displaystyle{ |x-1|\geq |[\;t\;]| }\) tylko dla \(\displaystyle{ t<0}\) i dla \(\displaystyle{ t>0}\) nierówność się odwraca..

Z \(\displaystyle{ (*)}\) dwa przypadki?:

\(\displaystyle{ -|x-1||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ >0}\)

\(\displaystyle{ -|x||\sin(x\pi)|\leq\; [\; t\; ]\sin(\pi t)\leq |x-1||\sin(x\pi)|}\) gdy \(\displaystyle{ t\in(x-1,x+1)}\) wypada \(\displaystyle{ <0}\)?

[Janusz Tracz]

Można po prostu tak:

\(\displaystyle{ \left| [\; t\; ]\sin(\pi t)\right| \le \left| t+1\right| \cdot \left| \sin \left( \pi t\right) \right| \rightarrow 0 }\)

gdy \(\displaystyle{ t\to x\ni\ZZ}\)

[Zaratustra]

Hmm. Ech. No to można. Dzięki wielkie

[a4karo]

Niestety nie. Nie jest prawdą, że `|[t]|\le |t+1|`.
Ale za to jest prawdą, że `|[t]|\le |t|+1`

[Janusz Tracz]

Ale za to jest prawdą, że `|[t]|\le |t|+1`

No tak, o to mi chodziło

[Zaratustra]

Cóż, w każdym razie ja najpierw sobie za bardzo uprościłem a potem wyraźnie przekomplikowałem. Tak typowo po mojemu - dzięki więc wam obu za wskazania