Gęstość prawdopodobieństwa

[przemo9191]

Wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład ciągły o gęstości

\(\displaystyle{ f(x, y) = \begin{cases}
\frac{x}{\sqrt{y}} & \text{dla $(x, y) \in (0,1)$}, \\
0 & \text{w przeciwnym przypadku}.
\end{cases}}\)

Oblicz gęstość:

\(\displaystyle{ Z = max(X, Y)}\)

\(\displaystyle{ P(max(X, Y) \le t) = P(X \le t, Y \le t) = P(X \le t)P(Y \le t)}\),

powyższy wzór zachodzi jeśli zmienne są niezależne a w tym przypadku nie są niezależne, jest jakiś sposób, że to obliczyć?

[Dasio11]

powyższy wzór zachodzi jeśli zmienne są niezależne a w tym przypadku nie są niezależne

Zmienne są niezależne, bo gęstość jest funkcją postaci \(\displaystyle{ f(x, y) = g(x) \cdot h(y)}\).

Tak czy owak, szukane prawdopodobieństwo liczy się tak samo jak zawsze, czyli całkując gęstość po odpowiednim prostokącie.

[przemo9191]

Tak czy owak, szukane prawdopodobieństwo liczy się tak samo jak zawsze, czyli całkując gęstość po odpowiednim prostokącie.

\(\displaystyle{ g(x, y) = max(x, y) = \int_x^1dy \int_y^1 f(x,y)dx}\)

Coś takiego?

[Dasio11]

Nie, zupełnie źle.

Zacząłeś poprawnie:

\(\displaystyle{ P(max(X, Y) \le t) = P(X \le t, Y \le t)}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ P(X \le t, Y \le t) = P ( \left< X, Y \right> \in B_t ) = \iint \limits_{B_t} f(x, y) \, \dd S}\)

przy czym \(\displaystyle{ B_t = \{ \left< x, y \right> \in (0, 1)^2 : x \le t \wedge y \le t \} = (0, t] \times (0, t]}\).

[przemo9191]

\(\displaystyle{ P(X \le t, Y \le t) = P ( \left< X, Y \right> \in B_t ) = \iint \limits_{B_t} f(x, y) \, \dd S}\)

przy czym \(\displaystyle{ B_t = \{ \left< x, y \right> \in (0, 1)^2 : x \le t \wedge y \le t \} = (0, t] \times (0, t]}\).

\(\displaystyle{ P(X \le t, Y \le t) = \int_0^tdy \int_0^t f(x,y)dx}\)

Tak jest ok?

[Dasio11]

Nie, nie jest ok. Potrafisz obliczyć całkę

\(\displaystyle{ \iint \limits_{(0, t] \times (0, t]} \frac{x}{\sqrt{y}} \, \dd S}\) ?

[przemo9191]

\(\displaystyle{ \iint \limits_{(0, t] \times (0, t]} \frac{x}{\sqrt{y}} \, \dd S}\)

\(\displaystyle{ \iint \limits_{(0, t] \times (0, t]} \frac{x}{\sqrt{y}} \, \dd S = \int_0^t \int_0^t \frac{x}{\sqrt{y}}\ dxdy}\)