Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych.

[Nadine]

Dzień dobry.
Uczę się sprawdzać różniczkowalność, tylko nie wiem czy mój tok myślenia jest dobry.
Mając funkcję
\(\displaystyle{
f(x,y)= \sqrt{(x^4 + y^4)}
}\)
\(\displaystyle{
\frac{df}{dx} = \frac{2x^3}{ \sqrt{x^4 + y^4}}
}\)
analogicznie z dy,
teraz żeby sprawdzić różniczkowalność powinnam wstawić zamiast (x,y) w pochodnych najpierw (z,z) potem (z,-z) i sprawdzić czy są sobie równe

[Janusz Tracz]

analogicznie z dy,
teraz żeby sprawdzić różniczkowalność powinnam wstawić zamiast (x,y) w pochodnych najpierw (z,z) potem (z,-z) i sprawdzić czy są sobie równe

Raczej nie. Nie widzę co miał by to dać? Co do różniczkowalności to w jakim punkcie Cię interesuje? Jeśli nie jest to \(\displaystyle{ (0,0)}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest tam różniczkowalna bo w dowolnym punkcie innym niż \(\displaystyle{ (0,0)}\) istnieją ciągłe pochodne cząstkowe (nie twierdzę, że w \(\displaystyle{ (0,0)}\) pochodne cząstkowe nie są ciągłe ale to wymagało by rachunków). Jeśli różniczkowalność interesuje Cię akurat w \(\displaystyle{ (0,0)}\) to można z definicji sprawdzić. Policzmy najpierw pochodne cząstkowe w \(\displaystyle{ (0,0)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{h^4} }{h} =0 }\)

po \(\displaystyle{ y}\) nie liczę bo funkcja jest symetryczna więc będzie tak samo. W tym monecie można sprawdzić ciągłość pochodnych cząstkowych (przy czym jest to warunek wystarczający więc jeśli nie są ciągłe to niczego nie dowiemy zatem jet to pewne ryzyko). Alternatywnie liczymy granice (to z definicji wynika)

\(\displaystyle{ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{ \sqrt{h^4+k^4} }{ \sqrt{h^2+k^2} } }\)

jeśli będzie \(\displaystyle{ 0}\) to funkcja będzie różniczkowalna. Policz ją.

Dodano po 6 minutach 3 sekundach:
Alternatywnie możesz tu sprawdzić ciągłość pochodnych cząstkowych w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Czyli do pokazania jest:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^3}{ \sqrt{x^4+y^4} } = 0 }\)

potem analogicznie po \(\displaystyle{ y}\) ale z symetrii nie trzeba tego liczyć.