Aproksymacja funkcji - druga pochodna?

[Mondo]

Witam,\(\displaystyle{ }\)

jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ y= f(x)}\) to możemy ją w prosty sposób przybliżyć poprzez styczną do niej której równaniem jest jej pochodna:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to a } \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(x)}\) (1)
z tego też równania możemy otrzymać liniową funkcję aproksymującą:
\(\displaystyle{ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) }\) (2)

I do tego momentu wszystko jest jasne. Natomiast czytając na temat aproksymacj napotykam na fragment mówiący iż kolejnym lepszym przybliżeniem będzie wyrażenie postaci:

\(\displaystyle{ \frac{f(x) - {f(a) + f'(a)(x-a)}}{(x-a)^2} }\) (3)

Powyższe wyrażenie "przypomina" 2 pochodną równania (2), ale nią nie jest. Czym więc jest to wyrażenie? Dlaczego w mianowniku mamy \(\displaystyle{ (x-a)^2}\)

Widzę, że te działania mają nas doprowadzić do równania postaci:

\(\displaystyle{ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 }\)

Zastanawiam się w jaki sposób miało by to lepiej aproksymować np. funkcję przedstawioną tutaj

Widać, że dodanie kolejnego wyrazu, w tym wypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2}\) do równania stycznej spowoduje tylko oddalenie się od faktycznej wartości \(\displaystyle{ f(x)}\).

Dzięki za pomoc

[a4karo]

Funkcja, która narysowales jest wklesla, więc jej druga pochodna jest ujemna. Odejmujesz zatem skladnik kwadratowy, więc przybliżenie będzie lepsze

[Mondo]

No dobrze, a skąd się bierze \(\displaystyle{ (x-a)^2}\) w wzorze (3)?

[a4karo]

Poczytaj o wzorze Taylora

[Mondo]

No właśnie ja chcę na podstawie tych podstawowych aproksymacji dojść do wzoru taylora, a nie z wzoru taylora sciagnąć wyraz z kwadratem.

[janusz47]

Pierwszą pochodną funkcji wprowadza się by móc przybliżać funkcję w pobliżu interesującego nas punktu wielomianem stopnia pierwszego.

Definicję pochodnej związaną z przybliżaniem funkcji wielomianem stopnia zerowego lub pierwszego można uogólnić.

Efektem tego uogólniania na pochodne wyższych rzędów jest wzór Taylora.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0 < h < 1 }\). Wobec tego \(\displaystyle{ |h| > h^2 > |h|^3 > h^4>...}\) Jeśli \(\displaystyle{ h }\) jest blisko \(\displaystyle{ 0 }\) to \(\displaystyle{ h^2 }\) jest znacznie bliżej zera niż \(\displaystyle{ h, \ \ |h|^3 }\) znacznie bliżej niż \(\displaystyle{ h^2 ... }\) itd.

Jest tak, bo granica \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0} \frac{h^2}{h} = 0 }\) i ogólnie jeśli \(\displaystyle{ m>n, }\) to \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{h^{m}}{h^{n}} = 0.}\)

Wobec tego różnica między wartościami dwóch funkcji będzie mała, jeśli będzie dążyła do \(\displaystyle{ 0 }\) po podzieleniu przez \(\displaystyle{ h^{n}}\)

Prawdziwe jest następujące twierdzenie

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f, w }\) są \(\displaystyle{ n- }\) krotnie różniczkowalne, to \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{f(x) -w(x)}{x^{n}} = 0 }\) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne tych funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) są równe do \(\displaystyle{ n-}\) tego rzędu włącznie:

\(\displaystyle{ f^{(i)}(0) = w^{(i)}(0) }\) dla \(\displaystyle{ i \in \{0,1,2,...,n\}. }\)

Zachęcam do dowodu tego twierdzenia.

Wnioski wynikające z dowodu twierdzenia

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ r(x) = f(x) - w(x) }\) jest \(\displaystyle{ n -}\) krotnie różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ r(0) = r^{'}(0) = r^{''}(0) =...= r^{(n-1)}(0) = 0, }\) to \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{x^{n}} = \frac{r^{(n)}(0)}{n!}.}\)

Jeśli chcemy przybliżyć funkcję \(\displaystyle{ f }\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a }\) wielomianem \(\displaystyle{ w }\), by błąd tego przybliżenia był mały w porównaniu z \(\displaystyle{ h^{n} }\) to pochodne do \(\displaystyle{ n }\) tego rzędu włącznie, tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) muszą być równe odpowiednim pochodnym funkcji \(\displaystyle{ f }\) w punkcie \(\displaystyle{ a \ \ f^{(i)}(a) = w^{(i)}(0). }\)

[Mondo]

janusz47, dzięki za odpowiedź, sporo cennych wskazówek ale pomiędzy nimi chyba zbyt duże jak dla mnie skoki i stąd mam kilka pytań:

Wobec tego różnica między wartościami dwóch funkcji będzie mała, jeśli będzie dążyła do \(\displaystyle{ 0 }\)po podzieleniu przez \(\displaystyle{ h^2}\)

Tak można do takiego wniosku dojść na podstawie \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{h^{m}}{h^{n}} = 0}\) ale też mam wrażenie, że jest to mocno naciągniete po to by wpasować się w teorię Taylora.
Do tego, czy to \(\displaystyle{ h(x)}\) reprezentuje tutaj funkcję różnicy pomiędzy faktyczną wartością funkcji, a tą aproxymowaną?

Prawdziwe jest następujące twierdzenie

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f, w }\) są \(\displaystyle{ n- }\) krotnie różniczkowalne, to \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{f(x) -w(x)}{x^{n}} = 0 }\) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne tych funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) są równe do \(\displaystyle{ n-}\) tego rzędu włącznie:

\(\displaystyle{ f^{(i)}(0) = w^{(i)}(0) }\) dla \(\displaystyle{ i \in \{0,1,2,...,n\}. }\)

No właśnie i tutaj moje pierwsze pytanie - dlaczego wprowadzamy tutaj warunek, że ta granica istnieje i jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne tych funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) są równe do \(\displaystyle{ n-}\) tego rzędu włącznie? Przecież wcześniej powiedzieśmy sobiem, że jeśli różnca między wartościami dwóch funkcji x jest mała, to podzielenie \(\displaystyle{ x^n}\) w granicy \(\displaystyle{ x->0}\) da \(\displaystyle{ 0}\)?

Zachęcam do dowodu tego twierdzenia.

Czy ten dowód ma jakąś nazwę? Coś co mogło by mnie na niego nakierować?

Wnioski wynikające z dowodu twierdzenia...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{x^{n}} = \frac{r^{(n)}(0)}{n!}}\)

Hmm dlaczego ta granica przerodziła się w pochodną licznika i mianownika? Oraz dlaczego w mianowniku \(\displaystyle{ x}\) ostatecznie znika?

I jeszcze jedno pytanie, w mojej książce punktem wyjscia do aproksymacji kwadratowej jest wzór \(\displaystyle{ \frac{f(x) - {f(a) + f'(a)(x-a)}}{(x-a)^2}}\), żadna z twoich wskazówek ani żaden z materiałów które czytam również do niego nie prowadzi, ani nawet nie przechodzi. Czy dobrze więc domyślam się iż jest to tyleko "przybliżenie" wilomianu kwadratowego, którego autor użył jako *trik* by dojść do wzoru Taylora?

[janusz47]

To twierdzenie nie ma swojej specjalnej nazwy. Na przykład Pan dr Michał Krych, wprowadzając studentów matematyki Uniwersytetu Warszawskiego w wielomian Taylora, nazywa to pomocnicze twierdzenie "lematem o funkcjach ściśle przylegających".

Dowód można znaleźć w wykładach Pana Krycha, więc nie będę go przytaczał.

To nie jest trick. Niektórzy wykładowcy jak Ś.P. Prof. Krzysztof Maurin, czy Ś.P. Pan Prof. Robert Hajłasz, wprowadzali aproksymację wielomianem Taylora przez ilorazy coraz to wyższych rzędów.

[Mondo]

To twierdzenie nie ma swojej specjalnej nazwy. Na przykład Pan dr Michał Krych, wprowadzając studentów matematyki Uniwersytetu Warszawskiego w wielomian Taylora, nazywa to pomocnicze twierdzenie "lematem o funkcjach ściśle przylegających".

Dowód można znaleźć w wykładach Pana Krycha, więc nie będę go przytaczał.

Dzięki za wskazówkę, udało mi się znaleźć ten wykład pana Krycha, ale czegoś w tym lemacie oraz jego dowodzie nie rozumiem.

Teza:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{f(x) - g(x)}{x^n} = 0 }\)

Dowód:
Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ r(0) = r'(0) = r''(0) = r^{(n)}(0) = 0}\)
Zakładamy, że
\(\displaystyle{ r(x) = f(x) - g(x)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le j \le n }\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{r(x)}{x^j} = \lim_{ x \to 0} \frac{r(x)}{x^n} \cdot \lim_{ x \to 0} x^{n-j} = 0 }\)
No i teraz autor pisze, że powyższe równanie jest prawdziwe ponieważ pierwszy limit na pewno jest 0. Dlaczego? Przecież w równaniu
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{r(x)}{x^n}}\) nie znamy wartości \(\displaystyle{ r(x)}\) w zerze. \(\displaystyle{ r(x)}\) jest róznicą dwóch funkcji których nie znamy, więc nie możemy przewidzieć wartości ich różnicy. Co wwięcej mianownik dążąc do zera może dać nam bardzo dużą granicę. Np jeśli \(\displaystyle{ r(x) = 2}\) to nasza granica wygląda np tak \(\displaystyle{ \frac{2}{0,0000001} }\), a to jest dalekie od wartosci zero. Zgadza się?

Poza tym, mianownik dąży do zera znacznie szybciej więc czy nie powinniśmy martwić się o sytuację \(\displaystyle{ \frac{f(x) - g(x)}{ \infty } }\)?

[janusz47]

Jeśli wczytamy się w początkowe zdania dowodu Pana dr Mchała Krycha, to z założenia wynika, że pierwsza granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{r(x)}{x^{n}} = 0 }\) jest równa zeru.

Następnie dowodzi, że \(\displaystyle{ r'(0) = 0, r^{''}(0)=0 }\) z reguły de Hospitala, ..., "dalej można tę procedurę kontynuować".

[Mondo]

Jeśli wczytamy się w początkowe zdania dowodu Pana dr Mchała Krycha, to z założenia wynika, że pierwsza granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{r(x)}{x^{n}} = 0 }\) jest równa zeru.

Zgadza się, ok.

Mam jeszcze takie pytanie, dlaczego pochodna wielomianu jest liczona w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) a funkcji którą przybliżamy w dowolnym \(\displaystyle{ a}\)

Czyli \(\displaystyle{ f^{(n)}(p) = w^{(n)}(0))}\)

Czyli pochodne wielomianu w punkcie 0 maja odpowiadać tym samym pochodnym funkcji w punkcie a. Dlaczego nie w tym samym punkcie?

[janusz47]

Z lematu o funkcjach przylegających wynika, że jeśli chcemy przybliżyć w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ p }\) funkcję wielomianem \(\displaystyle{ w, }\) aby błąd przybliżenia był mały w porównaniu z \(\displaystyle{ h^{n} }\) to muszą zachodzić równości

\(\displaystyle{ f^{j}(p) = w^{j}(0) \ \ (1) }\)

Proszę zauważyć, że w lemacie może występować różnica nie tylko przybliżanej funkcji i wielomianu, którą zasugerowałem ale także różnica funkcji przybliżanej dowolną funkcją \(\displaystyle{ r(x) = f(x) - g(x). }\)

Z równości \(\displaystyle{ (1) }\) (prawa strona) poprzez obliczanie pochodnych \(\displaystyle{ j }\) -tego rzędu wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ 0 }\) obliczamy współczynniki wielomianu Taylora w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ p.}\)