[MIX] Mix matematyczny 41

[mol_ksiazkowy]

1. Udowodnić, że jeśli liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\) są takie, że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 = 1+ 2abc}\), to choć jedna z liczb \(\displaystyle{ \frac{a+1}{2}, \frac{b+1}{2}, \frac{c+1}{2}}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
2. Rozwiazać uklad równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\sqrt{y} - z =x \\ y\sqrt{z} - x = y \\ z\sqrt{x} - y = z. \end{cases} }\)
3. Zdefiniowany jest ciąg:
\(\displaystyle{ a_{n+1 }= \begin{cases} \frac{a_{n}}{2} &\text{gdy }a_n \text{ jest parzyste} \\ \frac{a_{n} - 1}{2} &\text{gdy }a_n \text{ jest nieparzyste}. \end{cases} }\)
Dla jakich \(\displaystyle{ a_0}\) wyraz \(\displaystyle{ a_{2020}}\) jest pierwszym wyrazem ciągu równym \(\displaystyle{ 0}\) ?
4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że odległość Hamminga dwóch losowo wziętych słów \(\displaystyle{ 2n }\) literowych nad alfabetem trzyliterowym jest większa od \(\displaystyle{ n }\) ?
5. Mając dany dowolny trójkąt skonstruować okrąg taki, że obrazy prostych zawierających boki trójkąta w inwersji względem tego okręgu są okręgami przystającymi.
6. Wyznaczyć funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR }\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)^3 = - \frac{x}{12}( x^2 + 7xf(x)+16f(x)^2)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR. }\)
7. Dla ustalonego \(\displaystyle{ n }\) wyznaczyć największe możliwie \(\displaystyle{ k }\) takie, że \(\displaystyle{ 3^n + 1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^k.}\)
8. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 4a+5b - 3c}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 19}\), to \(\displaystyle{ 6a-2b +5c}\) także dzieli sie przez \(\displaystyle{ 19}\).
Uwagi: Liczby \(\displaystyle{ a, b, c }\) są całkowite.
9. \(\displaystyle{ AB }\) jest średnicą półokręgu \(\displaystyle{ \omega }\), a punkt \(\displaystyle{ M }\) jest na tej średnicy. Prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AB }\) do której należy punkt \(\displaystyle{ M }\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ \omega }\) i jest to punkt \(\displaystyle{ P }\). Narysowano okrąg styczny do \(\displaystyle{ \omega }\) i do \(\displaystyle{ PM }\) w punkcie \(\displaystyle{ Q }\) i do \(\displaystyle{ AB }\) w punkcie \(\displaystyle{ R }\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ PB=RB. }\)
10. Jakie liczby zespolone można przedstawić w formie \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3 }\), gdzie \(\displaystyle{ |z_1| = |z_2| = |z_3| = 1 }\) oraz \(\displaystyle{ z_1z_2z_3 = 1 }\) ?
11. Wyznaczyć wszystkie monotoniczne funkcje \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR }\) takie, że \(\displaystyle{ f ( f(x))= f (- f(x)) = f(x)^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
12. Czy jeśli \(\displaystyle{ 4n(n+1)(An+B)^2 +1 }\) jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnego \(\displaystyle{ n }\), to \(\displaystyle{ A=0 }\) ?
13. Dany jest graf nieskończony w którym zbiór wierzchołków identyfikuje się ze zbiorem liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z }\). Miedzy wierzchołkami o etykietach \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n }\) istnieje krawędź, jeśli \(\displaystyle{ |m-n| }\) jest potęga dwójki o wykładniku całkowitym nieujemnym. Odległość pomiędzy wierzchołkami to długość najkrótszej łączącej je ścieżki w tym grafie. \(\displaystyle{ K=K(0,r) }\) jest zbiorem wierzchołków, które są odległe od zera o mniej niż \(\displaystyle{ r}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ Z \setminus K }\) jest grafem spójnym, tj. że dla dowolnych wierzchołków nienależących do \(\displaystyle{ K }\) istnieje ścieżka, która je łączy i która jest zbudowana z wierzchołków spoza \(\displaystyle{ K. }\)

[Premislav]

7.:    

Na pewno dobrze przepisane Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ 3^{n}+1\equiv 2\pmod{8}}\), więc oczywiście \(\displaystyle{ 4\nmid 3^{n}+1}\), a stąd \(\displaystyle{ k=1}\). Jeżeli natomiast \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ 3^{n}+1\equiv 4\pmod{8}}\), więc \(\displaystyle{ k=2}\).

8.:    

Mamy \(\displaystyle{ 2(6a-2b+5c)=3(4a+5b-3c)-19b+19c}\), prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ 19}\), bo z założenia \(\displaystyle{ 19|(4a+5b-3c)}\), więc lewa strona też, ale \(\displaystyle{ (2,19)=1}\), więc \(\displaystyle{ 19|(6a-2b+5c)}\)

[arek1357]

Zad.2

Ukryta treść:    

oczywiście zakładamy: \(\displaystyle{ x,y,z>0 }\)

bo gdy np.\(\displaystyle{ x=0}\) to reszta też równa zero


Przekształćmy to ciut:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x( \sqrt{y}-1)-z=0 \\y( \sqrt{z}-1)-x=0\\z( \sqrt{x}-1)-y=0\end{cases}}\)

niech :\(\displaystyle{ a=\sqrt{y}-1,b=\sqrt{z}-1,c=\sqrt{x}-1}\)

i mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} xa-z=0 \\yb-x=0\\zc-y=0\end{cases}}\)

rozwiążemy to i mamy:

\(\displaystyle{ z=ax, y= \frac{1}{b}x }\)

po podstawieniu do pierwszego mamy:

\(\displaystyle{ ax- \frac{1}{bc}x=0 }\)

\(\displaystyle{ x(a- \frac{1}{bc})=0 , x \neq 0}\) czyli"

\(\displaystyle{ abc=1}\)

lub:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{y}-1)( \sqrt{z}-1)( \sqrt{x}-1)=1}\)

załóżmy, że:

\(\displaystyle{ x<y<z}\)


jak widać musi być:

\(\displaystyle{ \sqrt{x}-1<0 , \sqrt{y}-1<0, \sqrt{z}-1>1}\)

\(\displaystyle{ ax=(\sqrt{y}-1)x<1}\)

ale:

\(\displaystyle{ ax=z>1}\)

sprzeczność , czyli musi być:

\(\displaystyle{ \sqrt{y}-1= \sqrt{z}-1= \sqrt{x}-1}\)

znaczy, że:

\(\displaystyle{ x=y=z}\)

czyli:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{y}-1)( \sqrt{z}-1)( \sqrt{x}-1)=( \sqrt{x}-1)^3=1}\)

znaczy:

\(\displaystyle{ \sqrt{x}-1=1 , x=4 }\)

Więc mamy:

\(\displaystyle{ x=y=z=0,4}\)

Dodano po 5 minutach 36 sekundach:
zad. 6

Ukryta treść:    

W tym zadaniu wystarczy zauważyć że całe to równanie to inaczej:

\(\displaystyle{ (2f(x)+x)^2(3f(x)+x)=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(x)=- \frac{1}{2}x \vee f(x)=- \frac{1}{3}x }\)

Dodano po 1 godzinie 23 minutach 37 sekundach:
zad. 1

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2abc-1}\)

\(\displaystyle{ f_{a}'=2a-2bc=0}\)

\(\displaystyle{ f_{b}'=2b-2ac=0}\)

\(\displaystyle{ f_{c}'=2c-2ab=0}\)

Rozwiązania:

\(\displaystyle{ a=1,c=b \vee a=-1,c=-b}\) - lub permutacja tych rozwiązań

\(\displaystyle{ f_{min}=0}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=1+2abc}\)

znaczy, że skoro: \(\displaystyle{ a=1 \vee -1}\)

więc:

\(\displaystyle{ \frac{a+1}{2}=0 \vee 1=s^2 }\)

cnd...

Dodano po 1 godzinie 13 minutach 53 sekundach:
Zad.4

Ukryta treść:    

Ustawiam sobie wszystkie słowa z alfabetu:

\(\displaystyle{ H=\left\{ a,b,c\right\} }\)

O długości.: \(\displaystyle{ 2n}\)

W wierzchołkach wielokąta. Tych wierzchołków jest oczywiście: \(\displaystyle{ 3^{2n}}\) , łączę dwa wierzchołki tego wielokąta jeżeli ich odległość jest równa \(\displaystyle{ i}\).

np pokaże to, mamy słowo:

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}...x_{n}x_{n+1}...x_{2n}}\)

łączę go ze słowem takim , co różni się od niego o \(\displaystyle{ i}\)

Wybieram sobie : \(\displaystyle{ {2n \choose i} }\) miejsc na których się różnią , na pozostałych są takie same...

Każde takie słowo różniące się na i miejscach jest połączone z:

\(\displaystyle{ \frac{2^i {2n \choose i}}{2} }\) wierzchołkami, dzielę przez dwa bo się powtarzają...

ale z warunków zadania: \(\displaystyle{ i=n+1,...,2n}\)

więc obkładam sumą i mam ilość możliwości:

\(\displaystyle{ \sum_{i=n+1}^{2n}2^i {2n \choose i} \cdot \frac{1}{2} }\)

a jeszcze pomnożymy to przez ilość wszystkich wierzchołków czyli przez:

\(\displaystyle{ 3^{2n}}\)

A skoro wszystkich boków to:

\(\displaystyle{ {3^{2n} \choose 2} }\)

To szukane prawdopodobieństwo będzie wynosić:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{3^{2n} \sum_{i=n+1}^{2n}2^i {2n \choose i}}{2 {3^{2n} \choose 2}} }\)

cnd...

[Premislav]

Wybacz, arku, ale Twoje rozwiązanie zadania pierwszego nie ma najmniejszego sensu, w szczególności nie jest prawdą, że minimum określonej przez Ciebie funkcji wynosi zero, rozważ \(\displaystyle{ a=b=c>1}\)…

[arek1357]

Dla \(\displaystyle{ a=b=c}\) mamy:

\(\displaystyle{ 3a^2-2a^3-1=0}\)

\(\displaystyle{ a=1 \vee - \frac{1}{2} }\)

Dodano po 6 minutach 30 sekundach:
Tak zaczynam rozumieć, że nie rozpatrzyłem wszystkich przypadków...

Dodano po 53 sekundach:
Póki co te przypadki co rozpatrzyłem nie są bezsensem tylko można powiedzieć niepełne...

Póki co te przypadki co podałem są prawdziwe...

Dodano po 3 minutach 31 sekundach:
W zadaniu trzecim łatwo zauważyć:, że:

jeżeli.: \(\displaystyle{ a_{n+1}=0}\)

to:

\(\displaystyle{ 2^n \le a_{n+1} \le 2^{n+1}-1}\)

Dodano po 31 minutach 55 sekundach:
Zadanie 13 wydaje się oczywiste ale może już jest za późno...

[kerajs]

3:    

Startując od dowolnej liczby całkowitej z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2^n;2^{n+1}-1\right\rangle }\) dostaje się zero po \(\displaystyle{ n+1}\) krokach, dlatego \(\displaystyle{ a_0}\) może być dowolną liczbą całkowitą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 2^{2019};2^{2020}-1\right\rangle }\)

PS
Przypuszczam że w 12 jest jakaś literówka, gdyż podane tam wyrażenie jest kwadratem tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\) (zakładam że \(\displaystyle{ n \in \NN}\) )

Dodano po 1 godzinie 30 minutach 47 sekundach:
O, sorki Arek, nie zauważyłem że w wyjaśnieniach do zadania 1. pisałeś także o zadaniu 3.

9:    

Z dwóch możliwych okręgów tezę ma szansę spełnić tyko styczny do AM. Wprowadzę oznaczenia: R - promień półokręgu o środku S, r -promień okręgu wpisanego o środku S', x- odległość SM.
a) założenie: \(\displaystyle{ 0<\left| AM\right| \le R}\)
\(\displaystyle{ 1. \ \ \left|BP \right|^2=(R+x)^2+( \sqrt{R^2-x^2} )^2\\
\left|BP \right|=\sqrt{2R(R+x)} \\
2. \ \ \left|BR \right|=R+x+r }\)
ponadto w trójkącie SS'R mam
\(\displaystyle{ (R-r)^2=r^2+(r+ x)^2\\
r^2+r(2x+2R)+x^2-R^2=0\\
\Delta=8R(R+x)\\
r=-(x+R)+\sqrt{2R(R+x)}}\)
co wstawiam do 2.
\(\displaystyle{ \left|BR \right|=R+x+r=R+x-(x+R)+\sqrt{2R(R+x)}=\sqrt{2R(R+x)}=\left|BP \right|}\)

b) założenie: \(\displaystyle{ R<\left| AM\right| < 2R}\)
\(\displaystyle{ 1. \ \ \left|BP \right|^2=(R-x)^2+( \sqrt{R^2-x^2} )^2\\
\left|BP \right|=\sqrt{2R(R-x)} \\
2. \ \ \left|BR \right|=R-x+r }\)
ponadto w trójkącie SS'R mam
\(\displaystyle{ (R-r)^2=r^2+(r- x)^2\\
r^2+r(-2x+2R)+x^2-R^2=0\\
\Delta=8R(R-x)\\
r=(x-R)+\sqrt{2R(R-x)}}\)
co wstawiam do 2.
\(\displaystyle{ \left|BR \right|=R-x+r=R-x+(x-R)+\sqrt{2R(R-x)}=\sqrt{2R(R-x)}=\left|BP \right|}\)

[arek1357]

Było coraz później i coraz bardziej pisałem chaotycznie...

[WolfusA]

11:    

Jeśli jest stała, to \(\displaystyle{ f(x)\equiv 1}\) albo \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\).
Jeśli jest rosnąca lub malejąca i istnieje \(\displaystyle{ x\in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)\neq -f(x)}\), to \(\displaystyle{ f(f(x))\neq f(-f(x))}\). Sprzeczność dowodzi, że zawsze \(\displaystyle{ f(x)=-f(x)}\), czyli w rozważanym przypadku teoretycznie jest stale równa \(\displaystyle{ 0}\), ale to sprzeczność z założeniem "jest rosnąca lub malejąca".

[mol_ksiazkowy]

12 cd

Ukryta treść:    

Przy \(\displaystyle{ A=0 \ B=1}\) zwinie się do \(\displaystyle{ (2n+1)^2}\)

[arek1357]

11. coś nie tak jest bo:

Jak jest stała to masz rację.: \(\displaystyle{ f(x)=0 \vee 1}\)

Ale jak jest ściśle malejąca lub ściśle rosnąca to wtedy istnieje funkcja odwrotna:

i możemy we wzorze podstawić:

\(\displaystyle{ x:=f^{-1}(x)}\)

i otrzymamy:

\(\displaystyle{ f[f(f^{-1}(x))]=f[-f(f(x))]=f(f^{-1}(x) \cdot f(f^{-1}(x)}\)

Po skróceniu mamy:

\(\displaystyle{ f(x)=f(-x)=x^2}\)

Oczywiście nie na całej rzeczywistej ale do zera i od zera...

I reasumując mamy takie funkcje:


\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 , x \le 0 \\0 , x>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 , x <0 \\x^2 , x>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 , x \le a \in R \\1 , x>a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 , x <a \in R \\0 , x>a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=0 , f(x)=1}\)

Tam jeszcze można zmieniać w dwóch przedostatnich przedziały ciągłości więc tych funkcji będzie o dwie więcej...

[kerajs]

Ja przepraszam, moja uwaga o zadaniu 12 była całkowicie bezzasadna. O świcie nie powinienem nic rozwiązywać, a tym bardziej w głowie.

[WolfusA]

arku1357, ja przyjąłem jednakową monotoniczność na całej dziedzinie, a Ty przedziałami. Inaczej rozumiemy założenie zadania

[arek1357]

Ja podeszłem do tego tak, bo w zadaniu jest monotoniczna a monotoniczna to nierosnąca lub niemalejąca , więc może być przedziałami...

jeszcze jak na to popatrzyłem to jeszcze można tych funkcji "przedziałowych" namnożyć kilka...

Dodano po 5 minutach 3 sekundach:
A co do 13 to kołem będą jakieś tam wierzchołki złóczone z zerem a te jakieśtam to po prostu potęgi dwójki, jeżeli wyrzycimy nawet dowolną ilość potęg dwójki to i tak doczłapiemy od punktu do ponktu dowolnego w tym grafie ( z tych punktów co pozostały) nawet kicając co jeden lub co dwa bo sąsiednie też są połączone no bo jedynka to \(\displaystyle{ 2^0}\) albo nawet co dwa jak byśmy napotkali jaką potęge dwójki i musieli ją ominąć...

[kerajs]

5:    

Aby okręgi będące obrazami prostych (w inwersji względem pewnego okręgu C) były przystające, to środek okręgu C musi być tak samo oddalony od każdej z prostych zawierających boki trójkąta. Istnieją dokładnie cztery punkty płaszczyzny o tej własności: jest to środek okręgu wpisanego w trójkąt oraz środki okręgów dopisanych do trójkąta. Konstrukcja wyznaczająca te punkty jest powszechnie znana i wykorzystuje dwusieczne odpowiednich kątów. Promień okręgu C może być dowolny.

Gdyby dorzucić warunek, iż okrąg C ma być przystający do obrazów prostych, to jego promień powinien być dwa razy dłuższy od odległości jego środka do przekształcanych prostych.

[a4karo]

I reasumując mamy takie funkcje:




\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 , x \le 0 \\0 , x>0 \end{cases}}\)

No to sprawdźmy:
\(\displaystyle{ f(f(-1))=f(1)=0, \quad f(-f(-1))=f(-1)=1}\)
Nie pasuje

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 , x <0 \\x^2 , x>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(f(1))=f(1)=1\quad f(-f(1))=f(-1)=0}\) też nie pasuje

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 , x \le a \in R \\1 , x>a \end{cases}}\)

Przyjmijmy `a=1/2`.
\(\displaystyle{ f(f(2a))=f(f(1))=f(1)=1\quad f(-f(2a))=f(-1)=0}\) też źle

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 , x <a \in R \\0 , x>a \end{cases}}\)

Tu nie wiadomo co gdy `x=a` ale i bez tego niech `a=1/2`. Mamy
\(\displaystyle{ f(f(-5))=f(1)=0\quad f(-f(-5))=f(-f(1))=f(0)=1}\) i też kiszka

\(\displaystyle{ f(x)=0 , f(x)=1}\)

Tam jeszcze można zmieniać w dwóch przedostatnich przedziały ciągłości więc tych funkcji będzie o dwie więcej...

Na razie są o cztery mniej

Dodano po 8 minutach 51 sekundach:

arku1357, ja przyjąłem jednakową monotoniczność na całej dziedzinie, a Ty przedziałami. Inaczej rozumiemy założenie zadania

Trzeba uważać gdy mówi się o funkcji monotonicznej, bo to pojęcie nie jest jasno określone. Rozróżnia się pojęcia funkcji rosnącej i ściśle rosnącej i te funkcje bywają u innych autorów nazywane niemalejącymi i rosnącymi.