Ekstremum warunkowe 3 zmiennych

[Jan Kraszewski]

Rozwiązanie trochę ułatwi spostrzeżenie, że \(\displaystyle{ x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\), więc ten warunek mówi, że
\(\displaystyle{ (x,y)=(0,0) \vee x^{2}+y^{2}=18}\). Mniej użerania się z potęgami.

Ponieważ zadanie układał zapewne dr JW, więc takie spostrzeżenie jest w pewnym sensie spodziewane (tzn. można w zadaniu spodziewać się, że pewne spostrzeżenie istotnie je uprości).

JK

[Przybyl]

Meh muszę zapytać, bo nie wiem czy robię dobrze. Zgodnie ze wskazówką @Premislav funkcja wychodzi mi
\(\displaystyle{ f(x,y,\lambda)=x^2+y^2+2x+2y+\lambda(x^2+y^2-18}\)
Jeden z punktów krytycznych to (0,0).
Liczę pochodne cząstkowe, otrzymuję
\(\displaystyle{ x=y=\frac{-1}{(1+\lambda)^2}}\)
Z ostatniej równości po podstawieniu dostaję równanie kwadratowe, gdzie
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{-4}{3} lub \frac{-2}{3}}\)
Punkty krytyczne to
\(\displaystyle{ P_1=(0,0), P_2=(-3,-3), P_3=(3,3)}\)
Wyliczam pochodne cząstkowe drugiego rzędu, obie wychodza takie same
\(\displaystyle{ 1+\lambda}\)
Teraz w sumie nie wiem jak zbudować macierz hessego dla P_1. Czy tutaj mam po prostu za \(\displaystyle{ \lambda}\) przyjąć 0 ? Wtedy z tw. Sylverstera wyjdzie, że tam powinno być minimum lokalne (właściwe ?)
Rozumiem również, że zapisanie na egzaminie, że
\(\displaystyle{ a_{11}>0, det(M(P_1))>0}\)
jest wystarczające ?

[Premislav]

Pokaż może obliczenia, bo mnie wychodzi trochę inaczej, mianowicie
\(\displaystyle{ x=y=-\frac{1}{1+\lambda}}\)
Ale możliwe, że to błąd w samym zapisie, ponieważ dalej zgadza się z moim wynik \(\displaystyle{ \lambda=-\frac{4}{3}\vee \lambda=-\frac{2}{3}}\)…
Tylko trzeba jeszcze oddzielnie rozpatrzyć przypadek \(\displaystyle{ \lambda=-1}\), wtedy mamy w oczywisty sposób sprzeczne równania, ale to trzeba napisać.

I nie musisz budować macierzy Hessego dla \(\displaystyle{ (0,0)}\), wystarczy porównać wartość w tym punkcie z wartościami funkcji w tych punktach krytycznych, które Ci wyszły z metody mnożników Lagrange'a. W ogóle wydaje mi się, że w przypadku szukaniu ekstremów na zbiorze zwartym przeważnie wydajniejszy jest taki algorytm:
1. rozwiązujesz układ równań z mnożników Lagrange'a;
2. podstawiasz do wzoru funkcji otrzymane punkty krytyczne i porównujesz wartości;
3. jeśli brzeg zbioru, który rozważasz, jest różny od całego zbioru (rozważanego jako podzbiór \(\displaystyle{ \RR^{d}}\) z metryką euklidesową, gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą zmiennych, od których zależy funkcja), to sprawdzasz jeszcze wartości na tymże brzegu.
4. Najmniejsza otrzymana w ten sposób wartość to minimum globalne na tym zbiorze, a największa wartość to maksimum globalne.

I nawet nie trzeba używać macierzy Hessego (choć można), podobnie (szczególny przypadek jednowymiarowy) jak masz funkcję ciągłą na domkniętym odcinku i różniczkowalną wewnątrz, to znajdujesz wartości funkcji w punktach krytycznych, porównujesz z wartościami na końcach przedziału i tyle, nie musisz badać znaku drugiej pochodnej w punktach krytycznych, a nawet nie wszędzie musi ona istnieć, by wyciągnąć wnioski.

[Przybyl]

Tak, tam się pomyliłem. x=y tak jak u Ciebie. Po obliczeniu x z pierwszej pochodnej cząstkowej po x od razu wykluczyłem z dziedziny \(\displaystyle{ \lambda\neq-1}\).
Czy na pewno po wyliczeniu punktów krytycznych mogę liczyć w nich ekstrema ? Sam punkt krytyczny to warunek konieczny ale nie nie wystarczający, zatem czy jest możliwość, że na tym zbiorze znajdę wartość maksymalną która nie będzie ekstremum ? Troche sam się pogubiłem, także chciałbym jeszcze się upewnić w tej kwestii.

Jeszcze nie wiem czy dobrze rozumiem punkt 3. Jeśli mam zbadać na, przykładowo, zbiorze [1,10]x[2,7], to poza punktami krytycznymi badam wartość funckji w 4 punktach - (1,2), (1,7), (10,2), (10,7).

[a4karo]

I jeszcze na brzegu

[Przybyl]

Kolejne zadanie. Tym razem na zbiorze określonym nierównością. Zrobiłem to trochę inaczej, także poproszę o nakierowanie
Znajdź wartość najmniejszą i największą funkcji na zbiorze
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2=y^2+z^2+x+y+z \\ {(x,y,z):x^2+y^2+z^2 \le 3}}\)
Z funkcji f(x,y,z) liczę pierwszą pochodną i wychodzą mi punkty
\(\displaystyle{ x=y=z=-\frac{1}{2}}\)
Następnie korzystając z mnożników Lagrange'a otrzymuję funkcję
\(\displaystyle{ g(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+x+y+z+\lambda(x^2+y^2+z^2-3)}\)
Układ równań pierwszych pochodnych z ktorych otrzymuję
\(\displaystyle{ x=y=z=-\frac{1}{2+2\lambda}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \lambda=-\frac{3}{2} \vee -\frac{1}{2}}\)
z tego mam punkty
\(\displaystyle{ x=y=z=1 \vee x=y=z=-1}\)
Otrzymałem 3 punkty. Wstawiam je do funkcji i otrzymuję
\(\displaystyle{ f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})=-\frac{3}{4} \\
f(1, 1, 1)=6 \\
f(-1,-1,-1)=0}\)
Ogólnie nie miałem u siebie ekstremów globalnych. Miałem warunkowe. Nie różnią się one wiele jednak wole się upewnić. Na początku liczyłem pochodną z funkcji (bez mnożników Lagrange'a) żeby znaleźć potencjalne ekstrema na całej funckji. Wyszedł tylko jeden punkt który spełnia warunek, jednak teoretycznie gdyby było ich więcej muszę sprawdzić, czy po podstawieniu pod wzór kuli spełniają one warunek mniejszości od 3. Następnie korzystając z mnożników Lagrange'a badam na samym brzegu kuli. Wychodzi na to, że najmniejsza i największa wartość funkcji to
\(\displaystyle{ f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})=-\frac{3}{4} \\
f(1, 1, 1)=6}\)

Dodano po 34 minutach 58 sekundach:
Chciałbym zaznaczyć, że chodzi mi o sposób rozwiązywania tego typu zadań na egzaminach. Sam wynik to sprawdziłem na wolframie

[Premislav]

Ogólnie nie miałem u siebie ekstremów globalnych. Miałem warunkowe. Nie różnią się one wiele jednak wole się upewnić. Na początku liczyłem pochodną z funkcji (bez mnożników Lagrange'a) żeby znaleźć potencjalne ekstrema na całej funckji. Wyszedł tylko jeden punkt który spełnia warunek, jednak teoretycznie gdyby było ich więcej muszę sprawdzić, czy po podstawieniu pod wzór kuli spełniają one warunek mniejszości od 3. Następnie korzystając z mnożników Lagrange'a badam na samym brzegu kuli. Wychodzi na to, że najmniejsza i największa wartość funkcji to
\(\displaystyle{ f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})=-\frac{3}{4} \\
f(1, 1, 1)=6}\)

Tak, jest to w porządku.

Można to rozwiązać szybciej, mianowicie z nierówności Cauchy'ego-Schwarza wynika, że gdy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 3}\), to
\(\displaystyle{ x+y+z\le \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}\le 3}\)
z równością dla \(\displaystyle{ x=y=z=1}\), tak więc
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\le 6}\) (równość jak wyżej), ponadto
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}\ge -\frac{3}{4}}\) z równością dla \(\displaystyle{ x=y=z=-\frac{1}{2}}\), ale w sumie lepiej chyba ćwiczyć znacznie ogólniejszą metodę (i robisz to dobrze, tylko warto byłoby wspomnieć o warunku, który zapewnia Ci istnienie tych ekstremów warunkowych, na przykład o twierdzeniu Weierstrassa – zbyłem to machnięciem ręki na kartkówce z analizy na UWr i straciłem przez to kiedyś punkty).