ciągi / permutacje

[Wasyl132]

Cześć mam problem ze zrobienie paru zadań. Byłbym wdzięczny jakby mi ktoś powiedział jak to się robi. Nie chcę odpowiedzi tylko chce zrozumieć jak to się rozwiązuje, opuściłem pare lekcji z matmy dyskretnej i jestem kompletnie zielony.

1) Ile jest ciągów dł. o wyrazach \(\displaystyle{ a,b,c}\) z \(\displaystyle{ b}\) na trzecim miejscu?
2) Ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, ... , 18\}}\) gdzie \(\displaystyle{ 4}\) stoi bezposrednio przed \(\displaystyle{ 5}\)?
3) Ileż mamy ciągów dł. \(\displaystyle{ 7}\) o wyrazach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) z dokładnie jednym \(\displaystyle{ a}\) i dokładnie jednym \(\displaystyle{ b}\)?
4) Ile istnieje podzbiorów sześcioelementowych zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,20\}}\) zawierających \(\displaystyle{ 7}\)?
5) Jaka jest reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 24^{35} }\) przez \(\displaystyle{ 13}\)?
6) Znaleźć \(\displaystyle{ x}\) taki ze \(\displaystyle{ 18x \equiv \pmod{145}}\).
7) Pokazać ze nie masz rozwiązania r-nia \(\displaystyle{ 24x \equiv 70 \pmod{303}.}\)
8) Jaka jest reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 2019^{2019} }\) przez \(\displaystyle{ 11}\)?

Z góry dzieki za pomoc.

[Jan Kraszewski]

1) Ile jest ciągów dł. ?? o wyrazach \(\displaystyle{ a,b,c}\) z \(\displaystyle{ b}\) na trzecim miejscu?
6) Znaleźć \(\displaystyle{ x}\) taki ze \(\displaystyle{ 18x \equiv \red{??}\pmod{145}}\).

Przynajmniej w dwóch zadaniach coś zgubiłeś.

I poćwicz używanie \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a.

JK

[Wasyl132]

6) \(\displaystyle{ 18x ≡ 35 \pmod{145}}\)

A w 1) tak jest na kartce którą dostałem i też nie bardzo rozumiem.

[Jan Kraszewski]

A w 1) tak jest na kartce którą dostałem i też nie bardzo rozumiem.

Tam brakuje informacji, jakiej długości mają być te ciągi.

JK

[Janusz Tracz]

2:    

Potraktuj to jako permutacje zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,6,7,8,9,...,18\right\} \cup \left\{ \overline{45}\right\} }\) czyli zbiór liczb do \(\displaystyle{ 18}\) bez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\) z wyróżnionym elementem "sklejoną" \(\displaystyle{ 45}\). Ile jest elementów w tym zbiorze? Ilość permutacji to silnia tej liczby.

6:    

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ 18x \equiv 35 \bmod145}\) to \(\displaystyle{ 18x \cdot 137 \equiv 35 \cdot 137 \bmod145}\) a to można zapisać jako \(\displaystyle{ 17 \cdot 145x+x\equiv x\equiv 35 \cdot 137 \bmod145}\) czyli \(\displaystyle{ x\equiv 19 \bmod145}\) zatem każde \(\displaystyle{ x=145n+10}\) gdy \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\) jest rozwianiem

7:    

Załóżmy nie wprost, że istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ x}\) która spełnia przystawanie \(\displaystyle{ 24x\equiv 70 \bmod 303}\) oznacza to więc, że istnieje również całkowite \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ 24x=70+303n}\). Można zapisać więc dalej, że \(\displaystyle{ 24x-303n=70}\). Wydać teraz w czym problem. Prawa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) a lewa nie. Wniosek. Nasze założenie było nieprawdą zatem kongruencja nie zachodzi.

Dodano po 6 minutach 40 sekundach:

8:    

Zauważ, że \(\displaystyle{ 2019^{10} \equiv 1 \bmod11}\) stąd wynika, że \(\displaystyle{ 2019^{2010} \equiv 1 \bmod11}\) zatem do policzenia jest faktycznie \(\displaystyle{ 2019^{9} \bmod11}\) ale to można zapisać jako \(\displaystyle{ (183 \cdot 11+6)^{9} \bmod11}\) czyli innymi słowy \(\displaystyle{ 6^{9} \bmod11}\)

Dodano po 16 minutach 12 sekundach:

3:    

\(\displaystyle{ {7 \choose 1} {6 \choose 1} 2^5}\) bo wybieramy \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 7}\) miejsc i wsadzamy tam \(\displaystyle{ a}\) potem \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 6}\) miejsc i wsadzamy tam \(\displaystyle{ b}\) a potem na pozostałe \(\displaystyle{ 5}\) miejsc wsadzamy \(\displaystyle{ c}\) lub \(\displaystyle{ d}\) (czyli każde miejsce na \(\displaystyle{ 2}\) opcje może być obsadzone).

Dodano po 3 minutach 21 sekundach:

4:    

Wybierzmy \(\displaystyle{ 7}\) i już je mamy w naszym podzbiorze. Pozostało jeszcze dobrać \(\displaystyle{ 5}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ 19}\) elemętowego (bo już \(\displaystyle{ 7}\) nie ma) co można uczynić na \(\displaystyle{ {19 \choose 5} }\) sposobów.