Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem

[Bran]

Problem jak w tytule tematu.

Moja propozycja:
Z definicji ciała spełnione są dwa aksjomaty \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Wystarczy więc wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\) , to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^\infty \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in S}\)

Dla dowodu indukcyjnego sprawdźmy najpierw, czy:

\(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\), to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^2 A_i \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^2 A_i \in S.}\)
A to zachodzi z założenia.

Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i \in S}\).

Sprawdźmy teraz: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)
Z założenia indukcyjnego: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in S.}\)
Ponadto z aksjomatu ciała i definicji uogólnionej sumy:
\(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \cup A_{n} \in S \Leftrightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)

Poprawnie, czy gdzieś się pogubiłem jak zwykle?

[Jan Kraszewski]

Zaraz, zaraz, a co to jest \(S\) ? Bo w ogólności to ja znam ciała, które nie są \(\sigma\)-ciałami, np. ciało skończonych i koskończonych podzbiorów \(\NN\).

JK

[Bran]

Rodzina \(\displaystyle{ S \subset P(X)}\) jest ciałem w \(\displaystyle{ X}\) jeżeli spełnia:
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in S}\)
2. \(\displaystyle{ A \in S \Rightarrow X \setminus A \in S}\)
3. \(\displaystyle{ A, B \in S \Rightarrow A \cup B \in S}\)

[Jan Kraszewski]

Znam definicję ciała. Zwróciłem Ci tylko uwagę, że próba uzasadnienia, że dowolne ciało jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem jest z góry skazana na niepowodzenie, bo to ewidentna nieprawda.

JK

[Bran]

W takim razie w moim rozumowaniu musi być luka, skoro stwierdza nieprawdę.

Pomyliłem treść zadania, bo należało udowodnić, ze sigma-ciało jest ciałem.

[Jan Kraszewski]

W takim razie w moim rozumowaniu musi być luka, skoro stwierdza nieprawdę.

Zgadza się. Jest ona na samym początku dowodu i bierze się z niewystarczającego zrozumienia, czym jest indukcja. Abstrahując od fałszywości tezy indukcją nie miałbyś szans jej dowieść. Postaraj się zatem zrozumieć, co tak naprawdę daje Ci Zasada Indukcji Matematycznej.

Pomyliłem treść zadania, bo należało udowodnić, ze sigma-ciało jest ciałem.

No to akurat jest dość trywialne.

JK

[Bran]

W takim razie w moim rozumowaniu musi być luka, skoro stwierdza nieprawdę.

Zgadza się. Jest ona na samym początku dowodu i bierze się z niewystarczającego zrozumienia, czym jest indukcja. Abstrahując od fałszywości tezy indukcją nie miałbyś szans jej dowieść. Postaraj się zatem zrozumieć, co tak naprawdę daje Ci Zasada Indukcji Matematycznej.

Mógłbym prosić o polecenie jakieś literatury, która wyjaśniłaby mi to w sposób wyczerpujący? Bo jak widać, to co czytałem do tej pory było albo napisane, albo zrozumiane przeze mnie po łebkach.

Pomyliłem treść zadania, bo należało udowodnić, ze sigma-ciało jest ciałem.

No to akurat jest dość trywialne.

JK

Mam pomysł, by wziąć \(\displaystyle{ n}\) zbiorów, a resztę potraktować jako zbiory puste, ale na tym moje pomysły się kończą.

[Jan Kraszewski]

Mógłbym prosić o polecenie jakieś literatury, która wyjaśniłaby mi to w sposób wyczerpujący? Bo jak widać, to co czytałem do tej pory było albo napisane, albo zrozumiane przeze mnie po łebkach.

Nie sądzę, byś znalazł "literaturę do indukcji". To jest w sumie prosta sprawa, jak już zrozumiesz.

Może na początek przeczytaj sobie rozdział o indukcji z mojego podręcznika?

Mam pomysł, by wziąć \(\displaystyle{ n}\) zbiorów, a resztę potraktować jako zbiory puste, ale na tym moje pomysły się kończą.

Po co Ci \(\displaystyle{ n}\) zbiorów? Masz pokazać, że rodzina jest zamknięta na sumowaniu dwóch zbiorów. No to weź te dwa i dopisz puste, albo powtarzaj drugi zbiór.

JK