Zbieżność jednostajna i szacowanie różnicy funkcji

[strefa61]

Cześć, mam ciąg funkcyjny: \(\displaystyle{ f_n \left( x\right) = \sqrt[n]{1+x^n} }\) na zbiorze liczb nieujemnych i funkcję graniczną:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 1, \ \ \ \ \ \ \ x \in \left[ 0,1\right) \\ x, \ \ \ \ \ \ \ x \ge 1 \end{cases} }\)

Liczę ciąg supremów dla różnicy dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) (bo dla mniejszych wiem, jak zrobić):
\(\displaystyle{ \sup_{x \ge 1} \left| \sqrt[n]{1+x^n} - x\right| }\) i chcę to oszacować z góry przez:
\(\displaystyle{ (\sqrt[n]{2x^n}-x) \rightarrow 0 \left( n \rightarrow \infty\right) }\)
Czy mogę tak oszacować? Nie widzę przeciwwskazań, ale nie czuję pewności .

[Tmkk]

Możesz, tylko co Ci daje takie oszacowanie?

[matmatmm]

Możesz tak oszacować, ale ciąg supremów nie będzie zbiegać do zera, gdyż

\(\displaystyle{ \sup_{x\geq 1}\left( \sqrt[n]{2x^n}-x\right) =\sup_{x\geq 1}\left( x(\sqrt[n]{2}-1)\right) =+\infty}\)

[a4karo]

Wsk: \(x=\sqrt[n]{x^n}\)

[strefa61]

Aaaa, faktycznie, wziąłem granicę dla 'ustalonego x-a' i dlatego wyszło 0, prawda?
Ale nie bardzo widzę co z tym zrobić: uwzględniając wskazówkę:
\(\displaystyle{ \sup_{x \ge 1} \left| \sqrt[n]{x^n+1} - \sqrt[n]{x^n} \right| }\)
Najlepiej byłoby jakoś opuścić ten pierwiastek, żeby pozbyć się x-ów, ale kompletnie nie mam pomysłu jak to zrobić. Można prosić o jeszcze jakąś radę?

Dodano po 14 minutach 38 sekundach:
Widzę szansę na zastosowanie wzoru:
\(\displaystyle{ a^n-b^n= \left( a-b\right)\left( a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\right) }\)

i podstawiając: \(\displaystyle{ a=\sqrt[n]{1+x^n} \ \ \ \ b=\sqrt[n]{x^n}}\) i wyznaczając: \(\displaystyle{ a-b}\) dostaję:
\(\displaystyle{ \sup_{x \ge 1} \left| \frac{1}{(1+{x^n})^{n-1}+...+(\sqrt[n]{x^n})^{n-1}} \right| }\) co dla dowolnego \(\displaystyle{ x \ge 1}\) będzie ostatecznie zmierzać do 0.
Tylko ten sposób jak na 'moją wiedzę' jest dość pokraczny, czy o to chodziło, czy też jest jakiś lepszy? (to, że na 'moją wiedzę', to nic nie znaczy )

[Tmkk]

Sposób jest ok, ale twoje wnioskowanie niezbyt.

co dla dowolnego \(\displaystyle{ x \ge 1}\) będzie ostatecznie zmierzać do 0.

To jest zbieżność punktowa a nie w normie supremum, którą chcesz pokazać. Trzeba jeszcze coś zrobić.

Edit.
Krótko mówiąc. Nie możesz policzyć granicy, jeśli masz supremum po \(\displaystyle{ x}\). Musisz (na przykład, pewnie są jeszcze inne metody) policzyć dokładnie supremum tej funkcji dla dowolnego \(\displaystyle{ n > n_0}\) albo oszacować z góry przez coś, co nie zależy od \(\displaystyle{ x}\). Dopiero wtedy możesz przejść do granicy.
W momencie, w którym jesteś, łatwiej jest użyć drugiego sposobu.

[strefa61]

Rozumiem, bardziej coś takiego: \(\displaystyle{ \sup_{x \ge 1} \left| \frac{1}{(1+{x^n})^{n-1}+...+(\sqrt[n]{x^n})^{n-1}} \right| \le \frac{1}{n} }\) a to zbiega do \(\displaystyle{ 0, n \rightarrow \infty}\) I to już byłoby całkiem ok, prawda?

[Tmkk]

Tak, bo każdy wyraz szacujesz oddzielnie, bardzo dobrze.

Nawiązując do wiadomości, którą dopisałem wcześniej, pokaże inny sposób rozwiązania. Ustalamy \(\displaystyle{ n}\) i liczymy supremum funkcji \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+x^n} - x}\) (ważne jest, że tutaj nie ma modułu). Różniczując, można pokazać, że badana funkcja ma pochodną mniejszą od zera, więc jest malejąca, więc supremum jest przyjmowane dla \(\displaystyle{ x=1}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \sup_{x\ge 1}\sqrt[n]{1+x^n} - x = 2^{\frac{1}{n}} - 1 \to 1 - 1 = 0}\).

Jak widzisz, w obu sposobach, w momencie liczenia granicy, nie ma już żadnego \(\displaystyle{ x}\).

[strefa61]

Dziękuję za pomoc i wyjaśnienia.