Hej proszę o sprawdzenie dwóch zadanek.
Zad.1. \(\displaystyle{ (a_n)}\)- dowolny ciąg liczb nieujemnych oraz \(\displaystyle{ \mu :2^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu(A)=\sum_{n \in A}a_n}\). Mam pokazac ze \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) Robię tak:
1) \(\displaystyle{ \mu(A) \ge 0}\) - oczywiste
2) \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\) - też oczywiste
3) \(\displaystyle{ \mu(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n\in A_1 \cup A_2\cup...}a_n=\sum_{n\in A_1}a_n+\sum_{n\in A_2}a_n+...=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)}\) bo zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne. Zadanie bardzo proste ale chciałbym się upewnić czy jest ok.
Zad.2. Wyznaczyć standardową miarę Lebesgue'a następujących zbiorów:
1) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y)\in\mathbb R^2: a\le x\le b, 0\le y\le f(x)\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ f\in C[a,b], f(x)\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\)
Wystarczy wziąć całke podwojna po podanym obszarze normalnym?
2) \(\displaystyle{ B=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2\le 1 \right\} }\)
wyjdzie po prostu \(\displaystyle{ \pi}\)?
3) \(\displaystyle{ C=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2\le 1 \right\} \setminus (\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}) }\)
Tutaj tak samo \(\displaystyle{ \pi}\) bo odejmujemy zbiór miary zero?
4) \(\displaystyle{ D=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le x \le 2, -1\le y \le 1, \sin \pi(x+y)<\frac{1}{2}, \cos \pi(x+y)\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right\} }\)
Tutaj wystarczy rozpisać warunek na tego sinusa? Czy z cosinusem trzeba coś robić skoro miara liczb niewymiernych jest miarą pełną?
5) \(\displaystyle{ E=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x+y+z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x+y+z<1 \right\} }\)
Tutaj to samo czy warunkiem \(\displaystyle{ x+y+z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}\) trzeba sie przejmowac?
miara, miara Lebesgue'a
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
miara, miara Lebesgue'a
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 10:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Więcej szacunku dla Lebesgue'a. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Więcej szacunku dla Lebesgue'a. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: miara, miara Lebesgue'a
Trudno jednoznacznie odczytać intencję autora zadania, ale druga równość może wymagać dowodu, bo to jedyny nieoczywisty element w tym zadaniu.
Nie, raczej chodzi o przedstawienie wyniku w prostszej postaci.
2) Tak.
3) Tak.
4)
Mało precyzyjne pytanie, ale zasadniczo - tak.
Trzeba: uzasadnić, że ten warunek nie wpływa na miarę zbioru.
5)
Znów: należy udowodnić, że ten warunek nie zmienia miary.
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
Re: miara, miara Lebesgue'a
No tutaj praktycznie korzystamy tylko z tego że zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne i są podzbiorami zbioru liczb naturalnych czyli taka równość zachodzi.
W prostszej mając tylko podane dane chyba się nie da?
Tutaj bedzie trzeba rozpatrywac przypadki? Bo sinus jest rosnacy na \(\displaystyle{ \left[ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\) a zakresy \(\displaystyle{ x,y}\) są wieksze.
Jak to zrobić? Wystarczy komentarz że zbiór liczb niewymiernych ma miarę pełną bo jego dopełnienie ma miarę 0?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 20:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: miara, miara Lebesgue'a
Skorzystałeś z dość mocnego faktu: jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots}\) są rozłącznymi podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \left< a_n \right>_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem nieujemnych liczb rzeczywistych, to
\(\displaystyle{ \sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n \in A_k} a_n}\),
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_k}\).
Ten fakt nie jest oczywisty sam przez się, tylko zwyczajnie się go dowodzi w oparciu o definicję sumy szeregu. Ale powtórzę - niewykluczone, że intencją zadania nie było wykazywanie tego faktu, tylko powołanie się nań.
Może to kwestia gustu, ale według mnie tak byłoby prościej:
\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \text{d} x}\).
Najlepiej chyba rozwiązać to graficznie: wypisać takie liczby \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ \sin( \pi r ) = \frac{1}{2}}\), a następnie podzielić dany kwadrat na ukośne paski prostymi o równaniach \(\displaystyle{ x+y = r}\) dla wszystkich tych wartości \(\displaystyle{ r}\). Paski na zmianę będą zawarte w \(\displaystyle{ D}\) i w jego dopełnieniu, więc wystarczy zsumować pola tych pasków które zawierają się w \(\displaystyle{ D}\).
Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru \(\displaystyle{ D}\), który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
Re: miara, miara Lebesgue'a
Tutaj mamy miarę więc zakładamy że \(\displaystyle{ a_n\ge 0}\) ale generalnie żeby rozbić tę sumę to chyba wystarczy że same zbiory są rozłączne co nie? Nie musi być założenia o nieujemności wyrazów czy się mylę?
Aha to nie bardzo wiem jak to wytłumaczyć. Myślałem że warunek z cosinusem można wytłumaczyć podobnie jak tutaj viewtopic.php?t=357325, tylko tam był po prostu zbiór liczb niewymiernych a tutaj mamy konkretny warunek.Dasio11 pisze: ↑14 paź 2019, o 22:06 Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru
\(\displaystyle{ D}\)
, który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.
Dodano po 23 godzinach 20 minutach 17 sekundach:
Mógłbyś powiedzieć jak to trzeba wytłumaczyć? Slownie czy trzeba to jakoś rozpisać?Dasio11 pisze: ↑14 paź 2019, o 22:06 Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru
D
D, który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 23:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieujemności.
Powód: Poprawa wiadomości: nieujemności.