Rachunek Zbiorów

[sebwit]

Zbadaj czy jest twierdzeniem rachunek zbiorów formuła \(\displaystyle{ A \vee (B \vee C) = A \vee (B \setminus A) \vee [C \setminus (A \vee B)]}\)

Moje postępy to:

\(\displaystyle{ x \in {[A \vee (B \setminus A) \vee [C \setminus (A \vee B)] \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B \wedge x \in \setminus A) \vee (x \in C \wedge x \in \setminus A \wedge x \in \setminus B ) \Leftrightarrow}\)...

[Studniek]

Do zbiorów zamiast znaku alternatywy, powinieneś użyć znaku \(\displaystyle{ \cup}\), alternatywa nie występuje w odnoszeniu się do zbiorów.
Co do postępów to masz błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ x \in {[A \cup (B \setminus A) \cup [C \setminus (A \cup B)]] \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \wedge x \notin A) \vee [x \in C \wedge x \notin A \cup B]}\)
Spróbuj teraz, do pierwszej części użyj rozdzielności alternatywy względem koniunkcji i prawa wyłączonego środka, a co do drugiej części to przekształć sobie to wyrażenie, że x nie należy do sumy i powinno coś z tego wyjść, w razie problemów pisz.

[sebwit]

więc z pierwszej części wychodzi mi :

\(\displaystyle{ x \in (A \vee B)}\)

z drugiej wychodzi ::

\(\displaystyle{ x \in [(C \setminus A) \vee (C \setminus B)] ????}\)

[Jan Kraszewski]

więc z pierwszej części wychodzi mi :

\(\displaystyle{ x \in (A \vee B)}\)

No to Ci na pewno nie wychodzi, już Ci Studniek tłumaczył, że źle używasz znaczków. Co najwyżej może Ci wychodzić

\(\displaystyle{ x\in A\cup B.}\)

Ale lepiej zostawić to w postaci \(\displaystyle{ x\in A\lor x\in B}\).

z drugiej wychodzi ::

\(\displaystyle{ x \in [(C \setminus A) \vee (C \setminus B)] ????}\)

Znów ten sam błąd znaczków.

Poza tym wychodzi Ci źle, bo zapomniałeś o prawie de Morgana (no dodatkowo idziesz w złym kierunku).

Spróbuj jeszcze raz:

\(\displaystyle{ x \in C \wedge x \notin A \cup B \Leftrightarrow x \in C \wedge \neg \left( x \in A \lor x\in B\right) \Leftrightarrow ...}\)

JK

[Studniek]

Pierwsza część poprawna, w drugiej części zauważ, że \(\displaystyle{ x}\) nie może należeć do sumy zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), czyli wszystkich elementów jakie znajdują się w jakimkolwiek z tych zbiorów. Weźmy sobie przykład:
\(\displaystyle{ A=(1,2,3) \\
B=(2,3,4) \\
A \cup B =(1,2,3,4) \\
C=(1,5,7)}\)
Zauważ teraz, że \(\displaystyle{ x=1}\) należy do \(\displaystyle{ C \setminus B}\) (czyli według tego co napisałeś zdanie byłoby prawdziwe logicznie), ale nie należy do \(\displaystyle{ C\setminus(A \cup B)}\).
EDIT: Chyba 5 razy ten post musiałem edytować, bo co chwila jakąś literkę źle pisałem

[Jan Kraszewski]

EDIT: Chyba 5 razy ten post musiałem edytować, bo co chwila jakąś literkę źle pisałem

I dalej jest źle...

\(\displaystyle{ A=(1,2,3) \\
B=(2,3,4) \\
A \cup B =(1,2,3,4)\\
C=(1,5,7)}\)

Jak można wypisywać takie rzeczy...

Nawiasy robią dużą różnicę. Powinno być

\(\displaystyle{ A=\{1,2,3\} \\
B=\{2,3,4\} \\
A \cup B =\{1,2,3,4\}\\
C=\{1,5,7\}}\)

JK

[Studniek]

Nawiasy robią dużą różnicę. Powinno być

\(\displaystyle{ A=\{1,2,3\} \\ B=\{2,3,4\} \\ A \cup B =\{1,2,3,4\}\\ C=\{1,5,7\}}\)

JK

Wstyd przyznać, ale zapomniałem jak dodać {} nawiasy, więc użyłem zwykłych żeby było szybciej, dziękuję za zwrócenie uwagi

[sebwit]

Więc kontynuując

\(\displaystyle{ (x\in A \vee x \in B ) \lor [x \in C \wedge \neg (x \in A \wedge x \in B)] \Leftrightarrow ...}\)

[krl]

Widzę, że lubisz ćwiczyć układanie znaczków. Jeśli takie było polecenie, OK. Ale może zamiast tego spróbuj wyobrazić sobie zbiory po lewej i prawej stronie równości i uzasadnić jak najprościej, ze są równe. Tzn. najpierw udowodnij, że zbiór po prawej stronie zawiera się w zbiorze po lewej stronie (to akurat jest łatwe), a potem, że zbiór po lewej stronie zawiera się w zbiorze po prawej stronie.
Spróbuj napisać ten dowód nie używając symboli spójników logicznych. Pomocniczo zaznacz na diagramie Venna zbiory - składniki sumy po prawej stronie.

[Jan Kraszewski]

Oczywiście, propozycja krl to dobry pomysł, bo matematyka to nie manipulacja znaczkami.

A jeśli chcesz dowód "na znaczkach", to kontynuuj: najszybciej zacząć od rozdzielności czerwonej alternatywy względem niebieskiej koniunkcji:

\(\displaystyle{ (x\in A \vee x \in B ) \red \lor\black [x \in C \blue\wedge\black \neg (x \in A \lor x \in B)].}\)

JK

edit: poprawa jednego spójnika.

[sebwit]

\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \vee [(x \in C \wedge x \in \setminus A) \vee x \in C \wedge x \in \setminus B)] \Leftrightarrow (x \in (A \vee B) \vee x \in (c \setminus a) \vee x(C \setminus B)}\)
chyba nie w tą stronę poszedłem ,nie o takie rozdzielenie chodziło ?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \vee [(x \in C \wedge x \in \setminus A) \vee x \in C \wedge x \in \setminus B)] \Leftrightarrow \red (x \in (A \vee B) \vee x \in (c \setminus a) \vee x(C \setminus B)}\)

Za coś takiego dostajesz z miejsca zero punktów. Za nieumiejętność używania symboli choćby na podstawowym poziomie. I to po kilkukrotnym zwróceniu uwagi.

chyba nie w tą stronę poszedłem ,nie o takie rozdzielenie chodziło ?

Nie o takie. Wyraźnie napisałem Ci, co masz zrobić. A Ty przepisałeś to samo, co poprzednio mimo tego, że napisałem Ci, że jest to źle.

JK