Ciag Fibonacciego

[retset123]

Niech \(\displaystyle{ f_{n}}\) bedzie n-tym wyrazem ciagu Fibonacciego. Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest liczba parzysta, to \(\displaystyle{ 3}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\). Jak takie cos wykazac?
Dziekuje.

[Janusz Tracz]

Zauważ że parzyste są tylko co trzecie wyrazy ciągu jako że są sumą dwóch wcześniejszych nieparzystych liczb.

[retset123]

Widze, iz tak jest, ale jaka mam pewnosc, ze caly czas tak bedzie? Jest jakis dowod na to?-- 26 cze 2018, o 12:23 --Jesli parzyste beda tylko trzecie wyrazy ciagu, to juz zadanie bedzie zrobione, ale dlaczego tak jest?

[PoweredDragon]

To raczej dość oczywiste, że ciąg wpada w cykl \(\displaystyle{ niep.->niep.->p.->...}\) z definicji. Należy to tak naprawdę ubrać w ładne słowa

[Dasio11]

Te "ładne słowa" noszą nazwę "indukcja matematyczna". Należy przy jej użyciu udowodnić, że

\(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, ( f_n \text{ jest liczbą parzystą} \iff 3 \mid n ).}\)

Alternatywnie można bezpośrednio pokazać, że \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_{n+3} \equiv f_n \pmod{2}}\), a następnie wykorzystać to w indukcyjnym dowodzie, że

\(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, ( f_{3n+1} \text{ oraz } f_{3n+2} \text{ są nieparzyste} ).}\)

[retset123]

Dziekuje Dasio11, o to mi chodzilo!:) Ubieranie to w ladne slowa nie zapewnia prawidlowosci tezy. Teraz wize. Pozdrawiam.