Czy ktoś z Was mógłby przedstawić mi sposób rozwiązania następującego zadania:
Na każdej ścianie dwóch sześciennych kości figuruje liczba całkowita dodatnia nieprzekraczająca \(\displaystyle{ 12}\), przy czym na danej kości liczby mogą się powtarzać. Kości nie muszą być identyczne. Rzucamy taką parę kości i dodajemy dwie uzyskane liczby, widoczne na górnych ścianach kości. Można w ten sposób otrzymać liczby naturalne od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 19}\) i tylko takie; każdą z nich z tym samym prawdopodobieństwem. Jakie liczby znajdują się na ścianach tych dwóch kości? Wypisać te liczby, w kolejności niemalejącej, dla każdej kości oddzielnie.
Interesuje mnie głównie ilość rozwiązań tego zadania.
Nietypowe kości
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 28 gru 2013, o 10:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gorzów
Nietypowe kości
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 18:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Nietypowe kości
Przede wszystkim:
Skoro można uzyskać 19, to oznacza, że jeśli na jednej kości największa jest x, to na drugiej 19-x. Po drugie, skoro prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich jest takie same, oznacza to, że można uzyskać je wszystkie (z dwójką włącznie), stąd na obu kościach są jedynki. Dalej można jakoś logicznie do tego podchodzić (np. skoro można uzyskać trójkę, to musi być dwójka)
Skoro można uzyskać 19, to oznacza, że jeśli na jednej kości największa jest x, to na drugiej 19-x. Po drugie, skoro prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich jest takie same, oznacza to, że można uzyskać je wszystkie (z dwójką włącznie), stąd na obu kościach są jedynki. Dalej można jakoś logicznie do tego podchodzić (np. skoro można uzyskać trójkę, to musi być dwójka)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Nietypowe kości
Dość łatwo dowieść że równe prawdopodobieństwa mogą być tylko dla kostki o liczbach: 1,a,b,c,d,e i kostki: 1,1,x,x,y,y gdzie pod każdą literą jest inna liczba.
Przyjmując relacje \(\displaystyle{ 1<a<b<c<d<e \le 12}\) oraz \(\displaystyle{ 1<x<y \le 12}\) należy sprawdzić sześć przypadków:
\(\displaystyle{ e=7 \wedge y=12 \\
e=8 \wedge y=11 \\
e=9 \wedge y=10 \\
e=10 \wedge y=9 \\
e=11 \wedge y=8 \\
e=12 \wedge y=7}\)
Mi wychodzi tylko jedno rozwiązanie:
1,2,3,10,11,12 i 1,1,4,4,7,7
Przyjmując relacje \(\displaystyle{ 1<a<b<c<d<e \le 12}\) oraz \(\displaystyle{ 1<x<y \le 12}\) należy sprawdzić sześć przypadków:
\(\displaystyle{ e=7 \wedge y=12 \\
e=8 \wedge y=11 \\
e=9 \wedge y=10 \\
e=10 \wedge y=9 \\
e=11 \wedge y=8 \\
e=12 \wedge y=7}\)
Mi wychodzi tylko jedno rozwiązanie:
1,2,3,10,11,12 i 1,1,4,4,7,7
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 28 gru 2013, o 10:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gorzów
Nietypowe kości
Rozwiązań jest więcej niż jedno, ja sam naliczyłem \(\displaystyle{ 48}\)
oto przykładowe:
\(\displaystyle{ 1,2,10,10,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,7,8,8\\
1,3,10,12,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,5,6,6,7\\
1,2,10,11,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,6,8,8,\\
1,3,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,4,5,6,7\\
1,2,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,3,4,5,6,7\\
1,2,6,7,9,10\ \mbox{ i }\ 1,2,4,8,8,9}\)
oto przykładowe:
\(\displaystyle{ 1,2,10,10,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,7,8,8\\
1,3,10,12,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,5,6,6,7\\
1,2,10,11,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,6,8,8,\\
1,3,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,4,5,6,7\\
1,2,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,3,4,5,6,7\\
1,2,6,7,9,10\ \mbox{ i }\ 1,2,4,8,8,9}\)
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2018, o 09:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Nietypowe kości
Zauważ że prawdopodobieństwo wylosowania sumy równej \(\displaystyle{ 2}\) (podobnie jak sumy równej \(\displaystyle{ 3,4,...,19}\)) powinno wynosić \(\displaystyle{ \frac{2}{36}}\), a w każdej z Twoich propozycji wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\), więc nie spełniają one warunków zadania.
Michal3434 pisze: Rzucamy taką parę kości i dodajemy dwie uzyskane liczby, widoczne na górnych ścianach kości. Można w ten sposób otrzymać liczby naturalne od 2 do 19 i tylko takie; każdą z nich z tym samym prawdopodobieństwem.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Nietypowe kości
Znam pewną bardziej ogólną metodę.
Prawidłowej kostce sześciennej mającej na ściankach liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_i}\) można przyporządkować wielomian \(\displaystyle{ \frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\).
Koneserzy będą wiedzieli, że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\) mówimy wówczas o \(\displaystyle{ \mathbb{E}(x^S)}\) .
Mając takie dwie kostki, mamy dwa wielomiany:
\(\displaystyle{ P(x)=\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\)
oraz
\(\displaystyle{ Q(x)=\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}}\).
Pamiętamy, że musi być \(\displaystyle{ P(1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ Q(1)=1}\). To się później przyda.
Jeśli rzucamy dwoma kostkami, otrzymanie sumy \(\displaystyle{ k}\) oznacza, że otrzymaliśmy takie \(\displaystyle{ a_i}\) oraz \(\displaystyle{ b_j}\), że \(\displaystyle{ a_i+b_j=k}\). Odpowiada to współczynnikowi przy \(\displaystyle{ x^k}\) po wymnożeniu wielomianów \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)}\). A to, zgodnie z prawdopodobieństwami zadanymi w treści zadania, wynosi \(\displaystyle{ W(x)=\frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).
Zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x) = W(x)}\), oczywiście przy odpowiednich założeniach, do sprecyzowania których zachęcam poniżej. Rozpisując:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}) \cdot (\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}) = \frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).
Podstawową potrzebą jest więc odpowiedź na to, jak rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\) na czynniki. Najprościej zacząć od: \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2 \cdot \frac{x^{18}-1}{x-1}}\), po czym używać wzory na różnicę kwadratów, a także sumę/różnicę trzecich potęg.
Wolfram podpowiada, żę \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)}\).
Zachęcam do dokończenia i zapisania poniżej
Prawidłowej kostce sześciennej mającej na ściankach liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_i}\) można przyporządkować wielomian \(\displaystyle{ \frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\).
Koneserzy będą wiedzieli, że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\) mówimy wówczas o \(\displaystyle{ \mathbb{E}(x^S)}\) .
Mając takie dwie kostki, mamy dwa wielomiany:
\(\displaystyle{ P(x)=\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\)
oraz
\(\displaystyle{ Q(x)=\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}}\).
Pamiętamy, że musi być \(\displaystyle{ P(1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ Q(1)=1}\). To się później przyda.
Jeśli rzucamy dwoma kostkami, otrzymanie sumy \(\displaystyle{ k}\) oznacza, że otrzymaliśmy takie \(\displaystyle{ a_i}\) oraz \(\displaystyle{ b_j}\), że \(\displaystyle{ a_i+b_j=k}\). Odpowiada to współczynnikowi przy \(\displaystyle{ x^k}\) po wymnożeniu wielomianów \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)}\). A to, zgodnie z prawdopodobieństwami zadanymi w treści zadania, wynosi \(\displaystyle{ W(x)=\frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).
Zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x) = W(x)}\), oczywiście przy odpowiednich założeniach, do sprecyzowania których zachęcam poniżej. Rozpisując:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}) \cdot (\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}) = \frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).
Podstawową potrzebą jest więc odpowiedź na to, jak rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\) na czynniki. Najprościej zacząć od: \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2 \cdot \frac{x^{18}-1}{x-1}}\), po czym używać wzory na różnicę kwadratów, a także sumę/różnicę trzecich potęg.
Wolfram podpowiada, żę \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)}\).
Zachęcam do dokończenia i zapisania poniżej
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 28 gru 2013, o 10:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gorzów