Funkcja z funkcji własności
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Funkcja z funkcji własności
Niech \(\displaystyle{ g : (\NN \rightarrow \NN) \rightarrow (P(\NN) \rightarrow P(\NN))}\) będzie określona tak: \(\displaystyle{ g(f)(A) = f^{-1}(A)}\).
Mam odpowiedzić czy funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa i "na", oraz czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\), która jest różnowartościowa i czy każda funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\) jest różnowartościowa?
Czy mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania? Nie rozumiem czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Jeśli dobrze rozumiem to bierze funkcję jako argument i jakiś zbiór, a nie za bardzo rozumiem co zwraca... Przyznaję się bez bicia że teoria mnogości jest moją słabą stroną
Mam odpowiedzić czy funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa i "na", oraz czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\), która jest różnowartościowa i czy każda funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\) jest różnowartościowa?
Czy mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania? Nie rozumiem czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Jeśli dobrze rozumiem to bierze funkcję jako argument i jakiś zbiór, a nie za bardzo rozumiem co zwraca... Przyznaję się bez bicia że teoria mnogości jest moją słabą stroną
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 20:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Funkcja z funkcji własności
Argumentem tej funkcji jest funkcja \(\displaystyle{ f:\NN\to\NN}\), a wartością funkcja \(\displaystyle{ g(f):P(\NN)\to P(\NN)}\). Chcąc zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ g}\), musimy określić każdą z jej wartości. Ale każda z wartości jest funkcją i definiuję ją tak, jak definiuje się funkcję, czyli dla każdego argumentu, który jest zbiorem \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) określam jej wartość. I to właśnie oznacza wzórwiktor363 pisze:Czy mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania? Nie rozumiem czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Jeśli dobrze rozumiem to bierze funkcję jako argument i jakiś zbiór, a nie za bardzo rozumiem co zwraca... Przyznaję się bez bicia że teoria mnogości jest moją słabą stroną
\(\displaystyle{ g(f)(A) = f^{-1}(A)}\).
Może lepiej Ci będzie zauważyć to tak:
\(\displaystyle{ (g(f))(A) = f^{-1}(A)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Funkcja z funkcji własności
Trochę mi to rozjaśniłeś, a czym jest tutaj \(\displaystyle{ f^{-1}(A)}\)? Funkcją odwrotną?
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Funkcja z funkcji własności
Nie. To jest przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Funkcja z funkcji własności
No ale jak \(\displaystyle{ A}\) może być jednocześnie dziedziną i przeciwdziedziną \(\displaystyle{ f}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Funkcja z funkcji własności
wiktor363 pisze:No ale jak \(\displaystyle{ A}\) może być jednocześnie dziedziną i przeciwdziedziną \(\displaystyle{ f}\)?
Nie rozumiem, o co pytasz.
Wiesz, co to jest przeciwobraz zbioru przez funkcję?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Funkcja z funkcji własności
No tak dla \(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in M \ | \ f(x) \in A \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ M}\) to dziedzina \(\displaystyle{ f}\), a \(\displaystyle{ A}\) przeciwdziedzina. Tyle, że wcześniej pisałeś, że funkcja f przyjmuje argumenty z \(\displaystyle{ A}\)...
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Funkcja z funkcji własności
wiktor363 pisze:No tak dla \(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in M \ | \ f(x) \in A \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ M}\) to dziedzina \(\displaystyle{ f}\), a \(\displaystyle{ A}\) przeciwdziedzina.
\(\displaystyle{ A}\) to nie przeciwdziedzina, tylko zbiór, którego przeciwobraz wyznaczasz - jest on podzbiorem przeciwdziedziny.
Nic takiego nie pisałem.wiktor363 pisze:Tyle, że wcześniej pisałeś, że funkcja f przyjmuje argumenty z \(\displaystyle{ A}\)...
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ \red\NN}\) w \(\displaystyle{ \blue\NN}\) (ciągiem liczb naturalnych, jeśli wolisz), \(\displaystyle{ A \subseteq \blue\NN}\), zatem
\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in \red\NN\black \ | \ f(x) \in A \right\}.}\)
Ja tu nie widzę żadnego problemu.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Re: Funkcja z funkcji własności
Rozumiem już chyba jak ta funkcja działa, ale jak udowodnić, że \(\displaystyle{ g(f)(A)=\left\{ x \in N \ | \ f(x) \in A\right\}}\) jest/nie jest różnowartościowa, na? Może jak mógłbyś mi pomóc z jednym to wykminię resztę
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Funkcja z funkcji własności
Najpierw warto "poobracać" sobie trochę tę funkcję, żeby zobaczyć, jak działa. Weź sobie kilka konkretnych funkcji z \(\displaystyle{ \NN}\) w \(\displaystyle{ \NN}\) i zobacz, jakie wartości przyjmie na nich funkcja \(\displaystyle{ g}\). Najlepiej weź kilka prostych, ale istotnie różnych funkcji: identyczność, bijekcję niebędącą identycznością, funkcję stałą itp. To bardzo pomaga w ogarnięciu funkcji \(\displaystyle{ g}\).
Z surjektywnością \(\displaystyle{ g}\) można sobie prosto poradzić porównując moce dziedziny i przeciwdziedziny. Jeżeli nie chcesz bądź nie możesz (bądź nie umiesz) używać mocy, to trzeba poszukać funkcji z \(\displaystyle{ P(\NN)}\) w \(\displaystyle{ P(\NN)}\), która nie będzie przyjęta jako wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\). Najlepiej szukać wśród "dziwnych" funkcji...
Aha, nie licz na to, że ogarniesz to "od ręki". To jest trudny przykład i trzeba nad nim popracować.
JK
Z surjektywnością \(\displaystyle{ g}\) można sobie prosto poradzić porównując moce dziedziny i przeciwdziedziny. Jeżeli nie chcesz bądź nie możesz (bądź nie umiesz) używać mocy, to trzeba poszukać funkcji z \(\displaystyle{ P(\NN)}\) w \(\displaystyle{ P(\NN)}\), która nie będzie przyjęta jako wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\). Najlepiej szukać wśród "dziwnych" funkcji...
Aha, nie licz na to, że ogarniesz to "od ręki". To jest trudny przykład i trzeba nad nim popracować.
JK