Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ g : (\NN \rightarrow \NN) \rightarrow (P(\NN) \rightarrow P(\NN))}\) będzie określona tak: \(\displaystyle{ g(f)(A) = f^{-1}(A)}\).
Mam odpowiedzić czy funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa i "na", oraz czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\), która jest różnowartościowa i czy każda funkcja \(\displaystyle{ f \in Rg(g)}\) jest różnowartościowa?

Czy mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania? Nie rozumiem czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Jeśli dobrze rozumiem to bierze funkcję jako argument i jakiś zbiór, a nie za bardzo rozumiem co zwraca... Przyznaję się bez bicia że teoria mnogości jest moją słabą stroną

wiktor363 pisze:Czy mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania? Nie rozumiem czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ g}\)? Jeśli dobrze rozumiem to bierze funkcję jako argument i jakiś zbiór, a nie za bardzo rozumiem co zwraca... Przyznaję się bez bicia że teoria mnogości jest moją słabą stroną

Argumentem tej funkcji jest funkcja \(\displaystyle{ f:\NN\to\NN}\), a wartością funkcja \(\displaystyle{ g(f):P(\NN)\to P(\NN)}\). Chcąc zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ g}\), musimy określić każdą z jej wartości. Ale każda z wartości jest funkcją i definiuję ją tak, jak definiuje się funkcję, czyli dla każdego argumentu, który jest zbiorem \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) określam jej wartość. I to właśnie oznacza wzór

\(\displaystyle{ g(f)(A) = f^{-1}(A)}\).

Może lepiej Ci będzie zauważyć to tak:

\(\displaystyle{ (g(f))(A) = f^{-1}(A)}\).

JK

Trochę mi to rozjaśniłeś, a czym jest tutaj \(\displaystyle{ f^{-1}(A)}\)? Funkcją odwrotną?

Nie. To jest przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).

JK

No ale jak \(\displaystyle{ A}\) może być jednocześnie dziedziną i przeciwdziedziną \(\displaystyle{ f}\)?

wiktor363 pisze:No ale jak \(\displaystyle{ A}\) może być jednocześnie dziedziną i przeciwdziedziną \(\displaystyle{ f}\)?

Nie rozumiem, o co pytasz.

Wiesz, co to jest przeciwobraz zbioru przez funkcję?

JK

No tak dla \(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in M \ | \ f(x) \in A \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ M}\) to dziedzina \(\displaystyle{ f}\), a \(\displaystyle{ A}\) przeciwdziedzina. Tyle, że wcześniej pisałeś, że funkcja f przyjmuje argumenty z \(\displaystyle{ A}\)...

wiktor363 pisze:No tak dla \(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in M \ | \ f(x) \in A \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ M}\) to dziedzina \(\displaystyle{ f}\), a \(\displaystyle{ A}\) przeciwdziedzina.

\(\displaystyle{ A}\) to nie przeciwdziedzina, tylko zbiór, którego przeciwobraz wyznaczasz - jest on podzbiorem przeciwdziedziny.

wiktor363 pisze:Tyle, że wcześniej pisałeś, że funkcja f przyjmuje argumenty z \(\displaystyle{ A}\)...

Nic takiego nie pisałem.

\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ \red\NN}\) w \(\displaystyle{ \blue\NN}\) (ciągiem liczb naturalnych, jeśli wolisz), \(\displaystyle{ A \subseteq \blue\NN}\), zatem

\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x \in \red\NN\black \ | \ f(x) \in A \right\}.}\)

Ja tu nie widzę żadnego problemu.

JK

Rozumiem już chyba jak ta funkcja działa, ale jak udowodnić, że \(\displaystyle{ g(f)(A)=\left\{ x \in N \ | \ f(x) \in A\right\}}\) jest/nie jest różnowartościowa, na? Może jak mógłbyś mi pomóc z jednym to wykminię resztę

Najpierw warto "poobracać" sobie trochę tę funkcję, żeby zobaczyć, jak działa. Weź sobie kilka konkretnych funkcji z \(\displaystyle{ \NN}\) w \(\displaystyle{ \NN}\) i zobacz, jakie wartości przyjmie na nich funkcja \(\displaystyle{ g}\). Najlepiej weź kilka prostych, ale istotnie różnych funkcji: identyczność, bijekcję niebędącą identycznością, funkcję stałą itp. To bardzo pomaga w ogarnięciu funkcji \(\displaystyle{ g}\).

Z surjektywnością \(\displaystyle{ g}\) można sobie prosto poradzić porównując moce dziedziny i przeciwdziedziny. Jeżeli nie chcesz bądź nie możesz (bądź nie umiesz) używać mocy, to trzeba poszukać funkcji z \(\displaystyle{ P(\NN)}\) w \(\displaystyle{ P(\NN)}\), która nie będzie przyjęta jako wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\). Najlepiej szukać wśród "dziwnych" funkcji...

Aha, nie licz na to, że ogarniesz to "od ręki". To jest trudny przykład i trzeba nad nim popracować.

JK