Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Niech \(\displaystyle{ k=[n\sqrt{3}]}\)
Wtedy dla \(\displaystyle{ \NN\ni n\geq 1}\) \(\displaystyle{ \{n\sqrt 3\}=n\sqrt 3-k=\frac{3n^2-k^2}{n\sqrt 3+k}>\frac{1}{n\sqrt 3+k}>\frac{1}{n\sqrt 3}}\)
Ukryta treść:
Ostatnia nierówność jest oczywiście nieprawdziwa. Powinno być tak: \(\displaystyle{ \frac{3n^2-k^2}{n\sqrt 3+k}\ge \frac{2}{n\sqrt 3+k}>\frac{2}{2n\sqrt 3}=\frac{1}{n\sqrt 3}}\)
i nierówność \(\displaystyle{ 3n^2-k^2\ge 2}\) wynika stąd, że kwadrat nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3.
Będę upierdliwy i może nawet irytujący lecz a4karo niech zdradzi tajemnicę ciągu bo jest to niewyjaśnione kontrowersyjne a nawet drażniące jeśli jest to ciąg sensowny niech ktoś znajdzie wzór ogólny a jak nie to poco zawracać głowę chyba po to aby coś było napisane. Dla mnie zadanie z ciągiem nie jest rozwiązane zmienię zdanie jak ktoś mi to łopatologicznie wyjaśni.
29 Może być dowolny, ale
1, 121, 441, 961, 522,...
No takie tłumaczenie mnie nie zadowoli , wybacz ale nasza Pani w szkole tak by nie wytłumaczyła zadania
No widzisz timon super wielkie dzięki ja jestem niedomyślny i zawsze mnie drażni jak ktoś mówi zdania do przecinka lub urywa no ale otworzyłeś mi oczy lubie kawe na ławe.
Mamy
1) \(\displaystyle{ f(f(0))=-1}\)
2) \(\displaystyle{ f(f(-1))=0}\)
Wstawiając 2) w 1) otrzymujemy
3) \(\displaystyle{ f(f(f(-1)))=-1}\)
a stąd wynika, że
4) \(\displaystyle{ f(-1)=0}\)
z 2) mamy zatem \(\displaystyle{ f(0)=0}\) a wstawiając to do 1) dostajemy \(\displaystyle{ f(0)=-1}\), zatem sprzeczność.
Taka funkcja zatem nie istnieje.
Nie wiem czy jestem taki słaby z matmy, ale na moje:
1)
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ f(f(0)) = -1}\)
2) \(\displaystyle{ f(f(-1)) = 0}\)
2 w 1: \(\displaystyle{ f(f(f(f(-1)))) = -1}\)
Czy ja czegoś nie rozumiem czy zjadłeś jedno "f" wstawiając 2) w 1)?
ofc. tędy droga, bo \(\displaystyle{ f(f(f(0))) = -1}\) ładnie wychodzi, więc \(\displaystyle{ f(f(-1)) = -1}\), a z tego \(\displaystyle{ -1 = 0}\), co jest sprzeczne, ale coś chyba pomieszałeś
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(0)=a}\) podstawmy\(\displaystyle{ y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)(a+1)}\) z tego równania podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f(a)=a(a+1)}\). Początkowe równanie można przepisać jako \(\displaystyle{ f(x+y)a=f(x)f(y)-xy}\). Teraz podstawiając \(\displaystyle{ x=a, y=-a}\) mamy \(\displaystyle{ a^2=f(-a)a(a+1)+a^2 \Leftrightarrow 0=f(-a)a(a+1)}\) Jeżeli \(\displaystyle{ a=-1}\) to wtedy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)\cdot (-1+1)=0}\) to oznacza, że \(\displaystyle{ 0=f(f(x))\cdot 0 =f(f(f(x)))=f(0)=a}\),ale mam \(\displaystyle{ a=-1}\). Sprzeczność. Wracają jeżeli \(\displaystyle{ f(-a)=0}\), to \(\displaystyle{ a=f(0)=f(f(-a))=f(-a)(a+1)=0\cdot (a+1)=0}\). Otrzymuje ostatecznie \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Wstawiają to do równań otrzymuje \(\displaystyle{ xy=f(x)f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\). Biorąc w pierwszym równaniu \(\displaystyle{ x=f(x)}\)i stosując drugie równanie mamy \(\displaystyle{ f(x)y=f(x)f(y) \Leftrightarrow f(x)(y-f(y))=0}\). Jeśli istnieje nie zerowa wartość funkcji to biorąc ją za \(\displaystyle{ x}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f(y)=y}\). Wartość nie zerowa musi istnieć,bo \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie spełnia równania.
22. Dowód, że \(\displaystyle{ n \le 9}\)
Ukryta treść:
Jeżeli mamy jakieś przedstawienie liczby \(\displaystyle{ x=y_1+y_2+...y_n}\), gdzie \(\displaystyle{ y_i}\) ma w swoim zapisie cyfry \(\displaystyle{ 0 , 7}\) to wtedy \(\displaystyle{ \frac{x}{7}=\frac{y_1}{7}+\frac{y_2}{7}+...+\frac{y_n}{7}}\), gdzie każda z liczb \(\displaystyle{ \frac{y_i}{7}}\)ma w swoim zapisie same cyfry \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\). W drugą stronę implikacja jest oczywista. Każdą liczbę da się zapisać jako suma co najwyżej dziewięciu liczb o cyfrach \(\displaystyle{ 0,1}\). Taka konstrukcja jest prosta jeśli na \(\displaystyle{ i}\)-tej pozycji jest cyfra \(\displaystyle{ j}\), to na \(\displaystyle{ i}\)-tej pozycji liczb \(\displaystyle{ y_1,...,y_j}\) jest jedynka na pozostałych miejscach są zera. Jeżeli wszystko jest dodatnie na pewno wszystko pasuje, ale gdy można używać ujemnych liczb to nie jest pewien minimalności (\(\displaystyle{ 0,9=1-0,1}\))
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \NWW(1, 2, 3, ... , n)}\) jest iloczynem największych potęg liczb pierwszych w przedziale od 1 do n; Aby zatem liczba ta mogła być kwadratem, musiałyby się w przedziale od 1 do n zawierać kwadraty (lub wyższe parzyste potęgi) wszystkich liczb pierwszych zawartych w tym przedziale,czyli każda z liczb postaci. Potrzeba i wystarcza więc udowodnić, że zawsze istnieje \(\displaystyle{ n^2+k^2-2kn}\) większe od n dla \(\displaystyle{ n-k}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\) będącego liczbą pierwszą. Odpowiedź jest prosta:
Z twierdzenia, że między \(\displaystyle{ n}\) a \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) istnieje przynajmniej liczba pierwsza, możemy na spokojnie użyć \(\displaystyle{ (\frac{n}{2})^2 \ge n}\), a to jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 4}\), z czego wprost wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej w tym przedziale, jej kwadrat będzie większy od n, czyli nie będzie zawarty w przedziale od 1 do n, czyli w \(\displaystyle{ \NWW(1, ... , n)}\) wystąpi jako jeden czynnik, czyli \(\displaystyle{ \NWW(1, ... , n)}\) nie będzie kwadratem. Pozostało wykazać, że \(\displaystyle{ \NWW(1,2) = 2}\), \(\displaystyle{ \NWW(1,2,3) = 6}\), \(\displaystyle{ \NWW(1,2,3,4) = 12}\) nie są kwadratami, co jest oczywiste.
