[MIX] Mix na jesień

[mol_ksiazkowy]

1. Profesor Sequencer wypisywał na tablicy liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 3, ...}\); zakończył gdy było na tablicy tysiąc cyfr. Jaką cyfrę a jaką liczbę wypisał jako ostatnią ?
2. Wyznaczyć wszystkie monotoniczne \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) i takie że \(\displaystyle{ f ( f(n))= 3n}\)
3. Ile można narysować maksymalnie nieprzecinających się przekątnych, których końce są w narożach szachownicy kwadratowej \(\displaystyle{ 4n^2}\) polowej ?
4. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie liczbą tych permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n\}}\) dla których nie istnieją \(\displaystyle{ i, j}\) takie iż \(\displaystyle{ f(i)=i , \ f(j)=j}\) ani też \(\displaystyle{ f(i)=j, \ f(j)=i}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ \lim \frac{f(n)}{n!} = 2e^{- \frac{3}{2}}}\)
5. Na szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) zaznaczono środki wszystkich pól. Czy można narysować 13 prostych dzielących tę szachownicę w taki sposób, aby w każdym jej fragmencie był nie więcej niż jeden punkt ?
6. Udowodnić że \(\displaystyle{ \{ n\sqrt{3} \} > \frac{1}{ n\sqrt{3} }}\) gdy \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
7. Czy istnieje \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f ( f(x))= x^2-1}\) ?
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 4x^6 - 6x^2 + 2\sqrt{2}=0}\)
9. Na tablicy są wypisane liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 8, ...,128}\); ruch polega na zastąpieniu kolejnych liczb ich nieujemną różnicą. Czy na końcu gry tą liczbą może być \(\displaystyle{ 97}\) ? Jeśli na tablicy są liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 8, ..., 2^{100}}\) to jaka liczba może zostać na końcu tej gry ?

10. Udowodnić że \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}} + \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}}\) gdy \(\displaystyle{ x>0}\)
Kiedy jest równość ?

11. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^2+91}= \sqrt{y-2}+ y^2 \\ \sqrt{y^2+91} = \sqrt{x-2} + x^2 \end{cases}}\)
Wietnam
12. Ile to jest \(\displaystyle{ (\ctg (25^o) - 1) ... (\ctg(20^o) - 1)}\) ?
13. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f (f(x+y)) = f (x+y) + f(x)f(y) - xy}\)
Białoruś
14. Na szachownicy gracze wykonują na przemian ruchy królem; grę zaczyna się ustawiając króla na dowolnym polu; nie można wykonać ruchu na pole na którym król był już wcześniej. Przegrywa ten kto nie ma już żadnego ruchu.
Kto ma strategię wygrywającą ?
15. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a^6 +b^6}{2} \geq 3a^2b^2 - 4}\)
16. Wskazać przykład funkcji okresowej, której okresami są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
17. Piechur i rowerzysta rozpoczynają podróż z miasta A do B oddalonych od siebie o 5 km. Wyruszają z chwilach losowo i niezależnie przez siebie wybranych w czasie godziny. Pieszy idzie z prędkością 8 km/h, a rowerzysta jedzie z prędkością 25 km/h. Jakie jest prawdopodobieństwo ze piechur dotrze do miasta B nie później niż rowerzysta ?
18. Rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ x^8+ 4x^2+4}\) na czynniki
19. W bibliotece jest ustawionych na półce w dowolny sposób \(\displaystyle{ N}\) tomów encyklopedii. Robot-bibliotekarz co minutę bierze dowolny tom niestojący na swoim miejscu i ustawia go na właściwe miejsce (tj. jeśli tom ma numer \(\displaystyle{ k}\), to ustawia go na \(\displaystyle{ k}\) tym miejscu, licząc od początku. Udowodnić że po jakimś czasie wszystkie książki będą na właściwych miejscach
20. Udowodnić że wśród dowolnych 30-tu wektorów w przestrzeni są takie \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v},}\) że kąt między nimi jest mniejszy od \(\displaystyle{ 45^{o}}\)

21. Udowodnić, że dowolny ciąg liczb rzeczywistych jest iloczynem ciągów: ograniczonego i monotonicznego
22. Wyznaczyć najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie zachodzi twierdzenie:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) liczb o sumie równej \(\displaystyle{ x}\), i w zapisie dziesiętnym tych liczb są tylko cyfry 0 i 7.
23. Niech dany trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), zaś \(\displaystyle{ DM}\) jest średnicą okręgu wpisanego, \(\displaystyle{ D}\) jest punktem styczności okręgu z \(\displaystyle{ AC}\). Przedłużenie \(\displaystyle{ DM}\) przecina \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\) Udowodnić że \(\displaystyle{ AK= CD}\)
24. Udowodnić ze \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{n-1} \frac{2n+1}{n(n+1)} = 1}\)
25. W klasie jest 30 uczniów, którzy postanowili odwiedzić się wieczorem; każdy każdego;. Uczeń może zostać w domu bądź pójść w odwiedziny: wtedy może odwiedzić każdego kogo zastanie w domu. Udowodnić ze wystarczy do tego siedem wieczorów.
26. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ (x^2+y^2+1)^2 - 5x^2 - 4y^2 - 5=0}\)
27. Trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ n=9}\) podzielono na \(\displaystyle{ n^2}\) przystających trójkątów równobocznych jednostkowych (rysując odcinki równoległe do boków). Ile maksymalnie można wybrać tych małych trójkątów, tak by każde dwa z nich było można oddzielić prostymi równoległymi (równoważnie: pasem nie zdegenerowanym do prostej) ?
28. Czy \(\displaystyle{ NWW(1,...,n)}\) może być kwadratem liczby całkowitej ? (i dla jakich \(\displaystyle{ n}\))
29. Jaki może być następny wyraz w ciągu \(\displaystyle{ 9, 61, 52, 63, 94, 46, 18, ...}\) ?
30. Wykazać, że dowolny wielokąt wypukły mieści się całkowicie w okręgu przechodzącym przez pewne trzy kolejne jego wierzchołki. (mint18)

Ukryta treść:    

Uwagi:
zmienne w równaniach funkcyjnych są pod kwantyfikatorem ogólnym

rozwiazanie zadania 29: dowolny ; jest problematyczne(choć formalnie bezblędne)...
Zadanie 30 postulował mint18

[a4karo]

16

Ukryta treść:    

Liczby postaci \(\displaystyle{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3}, \ a,b\in\QQ}\) tworzą grupę z dodawaniem i ich przedstawienie w tej postaci jest jednoznaczne.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\{a\}+\{b\} & \text{ gdy } x=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}\\0 &\text{w przeciwnym razie}\end{cases}}\),
(\(\displaystyle{ \{x\}}\) oznacza część ułamkową \(\displaystyle{ x}\)) spełnia warunki zadania

-- 8 lut 2017, o 07:50 --24

Ukryta treść:    

ponieważ \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}\) więc szereg się ładnie teleskopuje:
\(\displaystyle{ S_N=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\dots\pm\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right)\\
=1\pm\frac{1}{N+1}}\)

[yorgin]

21:    

Fajne zadanko.

Oznaczmy dany ciąg przez \(\displaystyle{ (a_n)}\).

1. Załóżmy na początek, że \(\displaystyle{ a_n\geq 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\).

Niech \(\displaystyle{ c_1=a_1}\) oraz \(\displaystyle{ b_1=1}\).

Definiujemy następnie

\(\displaystyle{ c_n=\max\{a_n,c_{n-1}\}}\)

oraz

\(\displaystyle{ b_n= \begin{cases} 1 & c_n=0\\ \frac{a_n}{c_n} & c_n\neq 0\end{cases}}\)

Wprost z definicji ciąg \(\displaystyle{ (c_n)}\) jest niemalejący.

Skoro \(\displaystyle{ a_n\leq c_n}\), to \(\displaystyle{ 0<\frac{a_n}{c_n}\leq 1}\), zatem \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ograniczony od dołu przez \(\displaystyle{ 0}\) i od góry przez \(\displaystyle{ 1}\).

Oczywiście mamy również \(\displaystyle{ a_n=b_nc_n}\).

Istotnie, jeżeli jakieś \(\displaystyle{ c_n}\) jest zerem, to wszystkie \(\displaystyle{ c_k}\) są zerami dla \(\displaystyle{ k<n}\), zatem \(\displaystyle{ a_k=0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\ldots, n}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ c_n\neq 0}\), to równość wynika wprost z definicji.

Kończy to dowód dla ciągu dla ciągu o dodatnich wyrazach.

2. Niech teraz \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie dowolny. Wtedy \(\displaystyle{ (|a_n|)}\) jest o wyrazach dodatnich, więc można dla niego zastosować konstrukcję z \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymujemy więc ciągi \(\displaystyle{ (c'_n)}\) oraz \(\displaystyle{ (b'_n)}\).

Definiujemy \(\displaystyle{ c_n=c'_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=b'_n\cdot \text{sgn}(a_n)}\).

Ciągi \(\displaystyle{ (c_n)}\) jest oczywiście monotoniczny, a \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest o wyrazach z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

I tutaj również mamy \(\displaystyle{ a_n=b_nc_n}\).

[kerajs]

1:    

\(\displaystyle{ 1000=1 \cdot 9+2 \cdot 90+3 \cdot 270+1}\)
Tysięczna jest cyfra setek 271 liczby trzycyfrowej którą jest 370

8:    

\(\displaystyle{ t=x^2\\
2t^3-3t+ \sqrt{2}=0\\
2(t+ \sqrt{2})(t^2- \sqrt{2}t+ \frac{1}{2} ) =0\\
2(x^2+ \sqrt{2} )(x^2- \frac{1}{ \sqrt{2} } )^2=0\\
x= \frac{1}{ \sqrt[4]{2} } \vee x= \frac{-1}{ \sqrt[4]{2} }}\)

15:    

Zmienię tezę na:
\(\displaystyle{ \frac{a^6}{2}+ \frac{b^6}{2}+4 \ge 3a^2b^2}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ L= \frac{ \frac{3a^6}{2}+ \frac{3b^6}{2}+12}{3} \ge \sqrt[3]{ \frac{3a^6}{2} \cdot \frac{3b^6}{2} \cdot 12} = \sqrt[3]{3^3a^6b^6}=3a^2b^2=P}\)

26:    

\(\displaystyle{ (x^2+y^2+1)^2 - 5x^2 - 4y^2 - 5=0}\)
Niech
\(\displaystyle{ x^2+y^2=t \wedge t \in N}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ (t+1)^2-5t+y^2-5=0\\
t^2-3t+y^2-4\\
\Delta=25-4y^2}\)
Dla możliwych \(\displaystyle{ y \in \left\{ -2,0,2\right\}}\)
równanie spełniają tylko:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ t=4 \Rightarrow x=2 \vee x=-2 \end{cases}}\)

PS
\(\displaystyle{ k=x^2+y^2+1}\)
daje równanie:
\(\displaystyle{ k^2-5k+y^2=0}\)
dalej j.w

[yorgin]

9:    

Niech \(\displaystyle{ (a;b)\rightarrow |a-b|}\)

Pierwsza część:
\(\displaystyle{ (32; 64) \rightarrow 32\\
(16; 32)\rightarrow 16\\
(16; 128) \rightarrow112\\
(8; 112) \rightarrow 104\\
(4; 104) \rightarrow 100\\
(2; 100) \rightarrow 98\\
(1; 98) \rightarrow 97}\)

Druga część:
Przez operację odejmowania dla liczb \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, 2^{n}}\) można otrzymać dowolną liczbę nieparzystą mniejszą od \(\displaystyle{ 2^{n}}\).

Dowód idzie przez prostą indukcję.

\(\displaystyle{ n=1}\).

\(\displaystyle{ (1;2) \rightarrow 1}\).

Krok pierwszy zakończony.


Niech teraz \(\displaystyle{ n>1}\)

Ustalmy liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ 2^{n}>k>0}\).


Przypadek I. \(\displaystyle{ k<2^{n-1}}\).

Wtedy redukujemy \(\displaystyle{ (2^{n-1}; 2^n) \rightarrow 2^{n-1}}\), zostajemy z ciągiem \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, 2^{n-1}}\) i korzystamy z założenia indukcyjnego.

Przypadek II. \(\displaystyle{ k>2^{n-1}}\).

Wtedy \(\displaystyle{ 2^n-k<2^{n-1}}\), więc można ją otrzymać przez operacje wyłącznie na liczbach \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, 2^{n-1}}\) (założenie indukcyjne). Teraz ostatnie odejmowanie:

\(\displaystyle{ (2^{n}-k;2^n) \rightarrow k}\)

i koniec dowodu.

[a4karo]

10 - zaskakująca odpowiedź

Ukryta treść:    

Na mocy tw. Lagrange'a istnieje \(\displaystyle{ 0<k(x)<9}\) takie, że
\(\displaystyle{ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=\frac{9}{2\sqrt{x+k(x)}}}\)

Łatwo wyliczyć, że
\(\displaystyle{ k(x)=\frac{9}{4}+\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+9x}-x\right)}\)

Nierówność
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}\leq \frac{9}{2\sqrt{x+k(x)}}}\)

staje sie równoważna nierówności
\(\displaystyle{ 16\left(\sqrt{x^2+9x}-x\right)\leq 49x+9}\)
a ta z kolei
\(\displaystyle{ 0\leq 3969x^2-1134x+81=3969\left(x-\frac{1}{7}\right)^2}\)

[Benny01]

\(\displaystyle{ 11}\)

Ukryta treść:    

Gdy odejmiemy drugie równanie od pierwszego dostaniemy \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) rośnie w całej swojej dziedzinie. Wynika z tego, że funkcja jest injekcją. Rozwiązaniem będzie x=y=3

[a4karo]

25

Ukryta treść:    

Wydaje się, że wystarczy 5 wieczorów. Ponumerujmy uczniów i zapiszmy ich numery w systemie dwójkowym . Do tego wystarczy 5 cyfr (z przodu dopiszemy zera, gdy zapis jest krótszy niż 5 cyfr).

W \(\displaystyle{ i}\)-tym wieczorze w domu zostają uczniowie., których \(\displaystyle{ i}\)-ta cyfra jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a pozostali odwiedzają wszystkich, którzy zostali w domu.
Ponieważ dla dowolnych \(\displaystyle{ k\neq l}\) zapisy dwójkowe \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) różnią się co najmniej na jednym miejscu, oznacza to, że uczniowie o tych numerach spotkają się.

-- 8 lut 2017, o 10:02 --

29 Może być dowolny, ale

Ukryta treść:    

1, 121, 441, 961, 522,...

-- 8 lut 2017, o 10:25 --

6

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ k=[n\sqrt{3}]}\)
Wtedy dla \(\displaystyle{ \NN\ni n\geq 1}\)
\(\displaystyle{ \{n\sqrt 3\}=n\sqrt 3-k=\frac{3n^2-k^2}{n\sqrt 3+k}>\frac{1}{n\sqrt 3+k}>\frac{1}{n\sqrt 3}}\)

-- 8 lut 2017, o 10:57 --

7

Ukryta treść:    

Mamy
1) \(\displaystyle{ f(f(0))=-1}\)
2) \(\displaystyle{ f(f(-1))=0}\)
Wstawiając 2) w 1) otrzymujemy
3) \(\displaystyle{ f(f(f(-1)))=-1}\)
a stąd wynika, że
4) \(\displaystyle{ f(-1)=0}\)

z 2) mamy zatem \(\displaystyle{ f(0)=0}\) a wstawiając to do 1) dostajemy \(\displaystyle{ f(0)=-1}\), zatem sprzeczność.

Taka funkcja zatem nie istnieje.

-- 8 lut 2017, o 11:08 --

\(\displaystyle{ 11}\)

Ukryta treść:    

Gdy odejmiemy drugie równanie od pierwszego dostaniemy \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) rośnie w całej swojej dziedzinie. Wynika z tego, że funkcja jest injekcją. Rozwiązaniem będzie para \(\displaystyle{ (x,x)}\), \(\displaystyle{ x \in <2;+ \infty )}\)

Powyższe rozwiązanie jest niekompletne:

Ukryta treść:    

Trzeba jeszcze rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-1}+x^2}\)

Łatwo zgadujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x=3}\)
Brak innych wynika np. z analizy pochodnej prawej i lewej strony dla \(\displaystyle{ x>2}\)

[yorgin]

13:    

Trochę na wyczucie, być może mocno naciągane.

\(\displaystyle{ y=0}\) daje \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)(f(0)+1)}\).

Oznaczmy zatem \(\displaystyle{ z=f(x)}\), skąd

\(\displaystyle{ f(z)=z(f(0)+1)}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(0)=a}\). Wtedy również

\(\displaystyle{ f(a)=a+f(z)f(-z)+z^2}\)

czyli

\(\displaystyle{ a(a+1)=a+(-z)^2(a+1)^2+z^2}\).

To upraszcza się do

\(\displaystyle{ a^2=-z^2(a^2+a)}\)

i skoro jest to tożsamość dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\), to \(\displaystyle{ a=0}\).

Stąd też \(\displaystyle{ f(z)=z}\).

14:    

Strategię ma gracz II. Wystarczy, że wszystkie jego ruchy będą wykonywane względem środka symetrii szachownicy. Wtedy jeżeli nie miałby możliwości ruchu, to oczywiście gracz I również. Ale to gracz I ma do wykonania ruch, tzn nie ma, bo się zablokował.

P.S. Kolejne zadanie z bierkami na szachownicy, które ma praktycznie takie samo rozwiązanie.

[Premislav]

12.:    

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}(\ctg(20+k)-1)= \frac{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\left( \cos(20+k)-\sin(20+k)\right) }}{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\sin(20+k) }}= \frac{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\left( \sin(70-k)-\sin(20+k)\right) }}{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\sin(20+k) }}=\\\\= \frac{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}2\sin\left( 25-k\right)\cos (45) }}{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\sin(20+k) }}=2^6\cos^6(45) \frac{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\sin\left( 25-k\right) }}{\displaystyle{ \prod_{k=0}^{5}\sin(20+k) }}=\\\\=2^6 \cos^6(45)=8}\)

Skorzystałem ze wzoru na różnicę sinusów i się ładnie skróciło.
Wszystko w stopniach, a nie radianach, jako i było w treści, sorry, ale nie chce mi się pisać znaczków.

17.:    

No cóż, prawdopodobieństwo geometryczne. Rozważmy \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) z miarą płaską Lebesgue'a. Znajdziemy miarę zbioru \(\displaystyle{ C=\left\{ (x,y) \in [0,1]^2: x+ \frac{5}{8} \le y+ \frac{5}{25} \right\}}\)
Otóż robimy sobie lysuneczek, kololowe kledki baldzo lubią mnie itd. (nie umiem tu rysować). Prosta \(\displaystyle{ x=y- \frac{17}{40}}\) przecina brzeg naszego obszaru w punktach \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{17}{40} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{23}{40},1 \right)}\). Liczymy pole, jak to z trójkątami prostokątnymi bywa:
\(\displaystyle{ |C|=\frac 1 2\left( \frac{23}{40} \right)^2= \frac{529}{3200}}\)

Wyjaśnienie: rozpoczynamy odliczanie godziny. Trasę \(\displaystyle{ 5 \ km}\) (przy założeniach zadania oczywiście) rowerzysta pokona w \(\displaystyle{ \frac{5}{25} h}\) (przekształcamy znany wzór z podstawówki \(\displaystyle{ v= \frac{s}{t}}\), czy jakoś tak), a pieszy - w czasie \(\displaystyle{ \frac{5}{8} \ h}\). Czyli aby być na miejscu nie później niż rowerzysta, pieszy musi ruszyć przynajmniej \(\displaystyle{ \frac{5}{8}- \frac{5}{25} \ h}\) wcześniej od rowerzysty. Jeśli \(\displaystyle{ y}\) to czas wyruszenia rowerzysty, zaś \(\displaystyle{ x}\) - czas wyruszenia pieszego, to \(\displaystyle{ y-x}\) reprezentuję tę potrzebną różnicę czasów wyruszenia.
Coś za łatwo poszło, jeśli jest błąd, to poproszę o wskazanie go.

PS Dehydrolić bazy danych.

[mol_ksiazkowy]

13 cd

Ukryta treść:    

Jednak \(\displaystyle{ z}\) nie jest całkiem dowolne.... \(\displaystyle{ z \in f(R)}\) ...

[yorgin]

13 cd:    

Czyli naciągane. Lekko...

14 cd:    

kerajs słusznie zwrócił mi na PW uwagę do zadania 14.

Czy każdy gracz dysponuje własnym królem, czy w grze jest tylko jedna bierka, którą poruszają na przemian obaj gracze? Zadanie można rozumieć dwojako...

[kerajs]

19:    

Tak, robot uporządkuje zbiór.
Każdy ruch robota przenoszącego książkę z k-tego na i t-te miejsce przestawia \(\displaystyle{ \left| k-i\right|}\) książek, nie dotyczy to jednak książek przed, ani za przestawionymi w tym ruchu przez robota.
Oznacza to, że książka z najniższym (jak i najwyższym) nie stojącym na swoim miejscu numerem zostanie zostanie po pewnym czasie wybrana i odstawiona na swoje miejsce. Robot w kolejnych ruchach ani tej książki, ani prawidłowo ułożonych książek o niższych (wyższych) numerach już nie będzie przestawiał. Dalsze takie działanie robota doprowadzi do uporządkowania całego księgozbioru.

20?:    

Tu treść jest chyba błędnie przepisana, gdyż skoro osiem wektorów można na płaszczyźnie ułożyć w ''gwizdkę'' tak, aby kat między dwoma kolejnymi wynosił 45 stopni to już dziewiąty wektor (a nie trzydziesty) będzie przynajmniej z jednym wektorem z ''gwizdki'' tworzył kąt mniejszy niż 45 stopni.

[mol_ksiazkowy]

20 cd

Ukryta treść:    

istotnie, bo wektory są w przestrzeni...

-- 9 lutego 2017, 14:44 --14 cd

Ukryta treść:    

chyba w ponizszym sensie:

w grze jest tylko jedna bierka

[arek1357]

zad. 4

Ukryta treść:    

Oj Premislaw ubiegłeś mnie z zadaniem z cotangensami ale wybaczam...

Najpierw zauważyłem, że w tym zagmatwanym przedstawieniu tych warunków to na ludzki język znaczy, że w tego typu permutacji nie może być cykli o długości jeden i cykli o długości dwa.
Czyli takie bardzo mocne nieporządki. I trzeba je wszystkie zliczyć.

Może napiszę mój sposób kombinowania może i nie za piękny:

Najpierw zapisałem sobie wzór na ilość cykli o zadanych długościach:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{1^a2^b...a!b!...}}\)

I teraz tak mamy odrzucić cykle o długości jeden i długości dwa no więc muszę skorzystać z prawa włączania i wyłączania ze dwa razy.

1. Najpierw wybrałem sobie k cykli o długości jeden

2. Potem wybrałem sobie s cykli o długości dwa co daje już:

\(\displaystyle{ k+2s}\) punktów zagospodarowanych.

ilość cykli o długości dwa można wybierać aż do:

\(\displaystyle{ \left[ \frac{n-k}{2} \right]}\)

sposób na cykle o długości 1 to:

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^k}{1^k \cdot k!}}\)

No trzeba pamiętać i zasadzie włanczania i wyłanczania

Tu jak widać stosuję zasadę włączania i wyłączania,

Ale jeszcze muszę włanczać i wyłanczać cykle o długości dwa:

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^s}{2^sk!}}\)

A potem wszystko pomnożyć przez:

\(\displaystyle{ n!}\)

Ostatecznie wzór który wymyśliłem to:

\(\displaystyle{ f(n)= n! \cdot \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\left( \sum_{s=0}^{\left[ \frac{n-k}{2} \right] } \frac{(-1)^s}{2^ss!} \right)}\)

No i zupełnie przyzwoity wzór się narodził pokażę jeszcze jak to działa dla tzw. niedowiarków:

Tu może i prosto to wygląda ale myślenia było sporo

połóżmy:

\(\displaystyle{ n=3}\)

Z obserwacji winno wyjść dwa czyli permutacje bez cykli pojedynczych i podwójnych:

\(\displaystyle{ (1 2 3)}\)

\(\displaystyle{ (1 3 2)}\)

Zobaczmy ze wzoru:

dla:

\(\displaystyle{ k=0 , s=0,1}\)

\(\displaystyle{ k=1 , s=0,1}\)

\(\displaystyle{ k=2 , s=0}\)

\(\displaystyle{ k=3 , s=0}\)


\(\displaystyle{ 3! \cdot \left( 1(1- \frac{1}{2})- 1(1- \frac{1}{2})+ \frac{1}{2} \cdot 1- \frac{1}{6} \cdot 1\right) =3-1=2}\)

Zobaczmy dla:

\(\displaystyle{ n=5}\)

\(\displaystyle{ k=0 , s=0,1,2}\)

\(\displaystyle{ k=1 , s=0,1,2}\)

..........................................

\(\displaystyle{ 5! \cdot \left( 1(1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{8})-1(1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{8})+ \frac{1}{2}(1- \frac{1}{2})- \frac{1}{6}(1- \frac{1}{2})+ \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)=30-10+5-1=24}\)

co też się zgadza z doświadczeniem

dla:

\(\displaystyle{ n=6}\) można to rozłożyć na:

120 permutacji o długości sześć i 40 permutacji o cyklach długich na trzy:

\(\displaystyle{ 40= \frac{6!}{3^2 \cdot 2!}}\)

ale:

\(\displaystyle{ f(6)}\)

też taje \(\displaystyle{ 160}\)

wzorek jest ok:

\(\displaystyle{ f(n)= n!\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\left( \sum_{s=0}^{\left[ \frac{n-k}{2} \right] } \frac{(-1)^s}{2^ss!} \right)}\)

Powiem, że zadanie jak dla mnie bardzo ciekawe i kształcące.


zauważmy teraz że jak rozłożymy funkcję w szereg Taylora to otrzymamy:

\(\displaystyle{ e^{ -\frac{x}{2} }=1- \frac{x}{2^1 \cdot 1!} +\frac{x^2}{2^2 \cdot 2!}-\frac{x^3}{2^3 \cdot 3!}+...-...}\)

Całkiem to nam przypomina drugi szereg w naszej podwójnej sumie.

Oczywiście pierwszy szereg to znowy przypomina funkcję:

\(\displaystyle{ e^{-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n!}x^n}\)

\(\displaystyle{ \lim \frac{f(n)}{n!}= \frac{1}{e \sqrt{e} }}\)

Tylko czemu mi ta dwójka u góry nie chciała wyjść sam nie wiem...

a4karo skąd wymyśliłeś te liczby w zadaniu 29 oświeć mnie...


Co do 26. dołożę tylko, że jest to krzywa zamknięta przypominająca elipsę jakiś tam owal więc musi mieć skończoną ilość punktów kratowych.


Zad. 18

Ukryta treść:    

Lajtowo:

postuluję rozkład na czynniki w takie formie bo wydaje się być najlepsza:

\(\displaystyle{ \left( x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right)\left( x^4+dx^3+ex^2+fx+d\right)}\)

teraz proponuję to wymnożyć i zapisać w formie czytelnej dla czytelnika zwykłego:

\(\displaystyle{ x^8+\left( a+d\right)x^7+\left( ad+b+e\right)x^6+ \left( ae+bd+c+f\right)x^5+\left( af+be+cd+4\right)x^4+\left( 2a+bf+ce+2d\right)x^3+\left(2b+cf+2e\right)x^2+\left( 2c+2f\right)x+4=0}\)

No a z tego układ równań otrzymamy:

\(\displaystyle{ a+d=0}\)

\(\displaystyle{ ad+b+e=0}\)

\(\displaystyle{ ae+bd+c+f=0}\)

\(\displaystyle{ af+be+cd+4=0}\)

\(\displaystyle{ 2a+bf+ce+2d=0}\)

\(\displaystyle{ 2b+cf+2e=4}\)

\(\displaystyle{ 2c+2f=0}\)

Oczywiście nie będę dokładnie tłumaczył jak to rozwiązać bo bez sensu ale wychodzi, że:

\(\displaystyle{ d=-a, f=-c, e=b}\)

a do tego taki układ równań:

\(\displaystyle{ a^4-8ac+16=0}\)

\(\displaystyle{ 2a^2=c^2+4}\)

Też to nie będę rozwiązywał bo za długie tylko zauważę, że ma rozwiązania:

\(\displaystyle{ a=2, c=2}\) - spełniają

co daje nam ostatecznie:

\(\displaystyle{ a=2, b=2, c=2, d=-2, e=2, f=-2}\)

I rozkład jest:

\(\displaystyle{ x^8+4x^2+4=\left( x^4+2x^3+2x^2+2x+2\right) \left( x^4-2x^3+2x^2-2x+2\right)}\)

Jak kto nie wierzy niech przemnoży.