Spójność, zwartość, domkniętość, ograniczoność

[Borys92]

Witam! Mam kilka pytań z topologii.

1. Jeżeli chcę sprawdzić, czy dany zbiór jest zupełny, to co dokładnie powinnam sprawdzić?
2. Zwartość - jeżeli badam w innej metryce niż euklidesowej, to sama ograniczoność i domkniętość nie wystarczą, więc powinnam zbadać odległość czy jest mniejsza czy większa niż 1. Badam odległość 2 punktów w tym zbiorze?
3. Jak zbadać, czy jakiś zbiór jest spójny w innej metryce niż euklidesowej?
Mam np. sprawdzić, czy zbiór \(\displaystyle{ (x,y) \in R}\), \(\displaystyle{ x^{2} +2y ^{2} =1}\) jest spójny w metryce kolejowej i dyskretnej.
4. Czy \(\displaystyle{ (x,y) \in R^{2}}\), \(\displaystyle{ xy=0}\) jest domknięty i ograniczony w metryce kolejowej i dyskretnej?

Bardzo dziękuję za odpowiedzi.

[Dualny91]

1. To, co orzeka definicja. Sprawdzasz, że dowolny ciąg Cauchy'ego jest zbieżny.
2. Nie wiem, co to za pomysł... Masz jasno określoną definicję: z każdego ciągu masz wybrać podciąg zbieżny.
3. Żeby sprawdzić spójność, musisz znać postać zbiorów otwartych w danej przestrzeni. Jeśli wiesz, jak te zbiory otwarte wyglądają, to zaglądasz w definicję spójności i analizujesz.
4. Łatwo sprawdzić, że nie i nie.

Uwaga: spójność i zwartość zachowują się przy zmianie metryki na metrykę równoważną. W konsekwencji np. jeśli nie potrafisz zbadać spójności zbioru w metryce kolejowej, to spróbuj w euklidesowej.

[Elvis]

4. Czy przez metrykę dyskretną rozumiesz \(\displaystyle{ d(x,y) = \delta_{xy}}\)? Jeśli tak, to każdy zbiór jest domknięty i ograniczony. A w metryce kolejowej podany zbiór jest domknięty i nieograniczony.

Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.

[Dualny91]

4. Czy przez metrykę dyskretną rozumiesz \(\displaystyle{ d(x,y) = \delta_{xy}}\)? Jeśli tak, to każdy zbiór jest domknięty i ograniczony. A w metryce kolejowej podany zbiór jest domknięty i nieograniczony.

Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.

Sorry, myślałem o metryce taksówkowej