Witam! Mam kilka pytań z topologii.
1. Jeżeli chcę sprawdzić, czy dany zbiór jest zupełny, to co dokładnie powinnam sprawdzić?
2. Zwartość - jeżeli badam w innej metryce niż euklidesowej, to sama ograniczoność i domkniętość nie wystarczą, więc powinnam zbadać odległość czy jest mniejsza czy większa niż 1. Badam odległość 2 punktów w tym zbiorze?
3. Jak zbadać, czy jakiś zbiór jest spójny w innej metryce niż euklidesowej?
Mam np. sprawdzić, czy zbiór \(\displaystyle{ (x,y) \in R}\), \(\displaystyle{ x^{2} +2y ^{2} =1}\) jest spójny w metryce kolejowej i dyskretnej.
4. Czy \(\displaystyle{ (x,y) \in R^{2}}\), \(\displaystyle{ xy=0}\) jest domknięty i ograniczony w metryce kolejowej i dyskretnej?
Bardzo dziękuję za odpowiedzi.
Spójność, zwartość, domkniętość, ograniczoność
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Spójność, zwartość, domkniętość, ograniczoność
1. To, co orzeka definicja. Sprawdzasz, że dowolny ciąg Cauchy'ego jest zbieżny.
2. Nie wiem, co to za pomysł... Masz jasno określoną definicję: z każdego ciągu masz wybrać podciąg zbieżny.
3. Żeby sprawdzić spójność, musisz znać postać zbiorów otwartych w danej przestrzeni. Jeśli wiesz, jak te zbiory otwarte wyglądają, to zaglądasz w definicję spójności i analizujesz.
4. Łatwo sprawdzić, że nie i nie.
Uwaga: spójność i zwartość zachowują się przy zmianie metryki na metrykę równoważną. W konsekwencji np. jeśli nie potrafisz zbadać spójności zbioru w metryce kolejowej, to spróbuj w euklidesowej.
2. Nie wiem, co to za pomysł... Masz jasno określoną definicję: z każdego ciągu masz wybrać podciąg zbieżny.
3. Żeby sprawdzić spójność, musisz znać postać zbiorów otwartych w danej przestrzeni. Jeśli wiesz, jak te zbiory otwarte wyglądają, to zaglądasz w definicję spójności i analizujesz.
4. Łatwo sprawdzić, że nie i nie.
Uwaga: spójność i zwartość zachowują się przy zmianie metryki na metrykę równoważną. W konsekwencji np. jeśli nie potrafisz zbadać spójności zbioru w metryce kolejowej, to spróbuj w euklidesowej.
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Spójność, zwartość, domkniętość, ograniczoność
4. Czy przez metrykę dyskretną rozumiesz \(\displaystyle{ d(x,y) = \delta_{xy}}\)? Jeśli tak, to każdy zbiór jest domknięty i ograniczony. A w metryce kolejowej podany zbiór jest domknięty i nieograniczony.
Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.
Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Spójność, zwartość, domkniętość, ograniczoność
Sorry, myślałem o metryce taksówkowejElvis pisze:4. Czy przez metrykę dyskretną rozumiesz \(\displaystyle{ d(x,y) = \delta_{xy}}\)? Jeśli tak, to każdy zbiór jest domknięty i ograniczony. A w metryce kolejowej podany zbiór jest domknięty i nieograniczony.
Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.