Oblicz objętość bryły

[legolas]

A więc mam 2 przykłady, z którymi mam problem:

1. Ograniczonej kulami \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1, \ x^2+y^2+(z-1)^2=1}\)

A więc tu będzie taka soczewka, patrząc na to z boku:
jej środek będzie na wysokości \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\)

I tutaj chyba wygodnie wprowadzić sobie układ sferyczny:

\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi\cos\theta \\ y=r\sin\varphi\cos\theta \\ z =r\sin\theta}\)

No i dla \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2= \frac{3}{4}}\)

Więc \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi}\)

I stąd by wychodziło, że \(\displaystyle{ 0\le r \le \frac{\sqrt3}{2}}\)

Ale tu się już gubię i nie wiem co dalej

2. Ograniczonej stożkiem \(\displaystyle{ 2z=\sqrt{x^2+y^2}}\) i kulą \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\)

Tu podejrzewam, że na początek będzie dobrze wyznaczyć zakres \(\displaystyle{ z}\), czyli
\(\displaystyle{ 4z^2+z^2=1 \Rightarrow 0\le z \le \frac{1}{\sqrt5}}\)

I co dalej

[kerajs]

1)
Tu wygodniejsze będą współrzędne cylindryczne.
Szukaną objętość można zapisać też tak:
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{1-x^2-y^2} \le z \le \sqrt{1-x^2-y^2}}\)
Obszarem całkowania jest koło:
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \le (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2}\)
W cylindrycznych objętość to
\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{ \sqrt{3} }{2}} \int_{ 1-\sqrt{1-r^2} }^{\sqrt{1-r^2}} r dz dr d\alpha}\)

2)
Szukaną objętość można zapisać też tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{x^2-y^2} \le z \le \sqrt{1-x^2-y^2}}\)
Obszarem całkowania jest koło:
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \le (\frac{2}{ \sqrt{5} })^2}\)
W cylindrycznych objętość to
\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{2}{ \sqrt{5}} } \int_{ \frac{1}{2} \sqrt{r^2} }^{\sqrt{1-r^2}} r dz dr d\alpha}\)

[legolas]

Ok, już załapałem sposób postępowania.

A na przykład coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{4}+z^2\le1 \\ z \ge \sqrt{x^2+y^2}-2}\)

Tutaj na dzień dobry daję nowe zmienne
\(\displaystyle{ x=2x', \ y=2y'}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ (x')^2+(y')^2+z^2\le1 \\ z \ge 2\sqrt{(x)'^2+(y')^2}-2}\)
I Jakobian jest równy \(\displaystyle{ 4}\).

No i tak patrząc na rysunek z boku, to nie da rady tutaj zrobić tak jak poprzednio (czyżby trzeba było użyć innego układu?)

[kerajs]

Jest OK.

Szukam przecięcia stożka i sfery
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'^2+y'^2+ z^2 =1\\ z+2=2 \sqrt{x'^2+y'^2} \end{cases} \\
z+2=2 \sqrt{1-z^2} \\
z=0 \vee z= \frac{4}{5}}\)

Ps. Czy tu mają zastosowanie ostatnie zdania mojego komentarza z viewtopic.php?t=410225 ?

[legolas]

Ps. Czy tu mają zastosowanie ostatnie zdania mojego komentarza z viewtopic.php?t=410225 ?

Nie, spójrz na godzinę postów

[kerajs]

Tu niestety zaszło nieporozumienie. Chciałem abyś się zastanowił jak stożek tnie sferę, zamiast mechanicznie rozwiązywać te zadania.

Dla wyliczonych zetów (przy drugim brakuje minusa) należy wyliczyć promienie. Mam:
\(\displaystyle{ z=0 \Rightarrow x^2+y^2+0^2=1 \Rightarrow r^2=1 \Rightarrow r=1\\
z= \frac{-4}{5} \Rightarrow x^2+y^2+(\frac{-4}{5})^2=1 \Rightarrow r^2=\frac{9}{25} \Rightarrow r=\frac{3}{5}}\)
Czyli całkuję po pierścieniu:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\pi} \int_{0,6}^{1} \int_{- \sqrt{1-r^2}}^{2r-2} 4r dz dr d \alpha}\)
Oczywiście można całkować w układzie XYZ, ale wtedy pierścień będący obszarem całkowania należy podzielić na cztery obszary normalne. Stąd też będą 4 całki podwójne (potrójne) do policzenia. Można to sobie ułatwić przez różnicę objętości ale przejście na powyższe współrzędne cylindryczne jest chyba najwygodniejszym sposobem liczenia.

Ok, już przestaję bo pewnie masz dość mojego trucia.

[legolas]

Nie no, całkiem ciekawie jest się dowiedzieć paru rzeczy nowych

Ok, teraz coś trochę innego niż poprzednie zadania (tj. treść taka sama, ale pewnie trzeba będzie to inaczej wyliczyć)

\(\displaystyle{ 3+\left| y\right| \le x\le7-z^2}\)

I dobra, mamy ograniczenie na \(\displaystyle{ x}\), więc trzeba znaleźć ograniczenie na \(\displaystyle{ y,z}\).

Więc:

\(\displaystyle{ 3+\left| y\right| \le7-z^2}\)

I stąd dostaje ograniczenie

\(\displaystyle{ -2 \le z \le 2, \ -4 \le y \le 4}\)

Następnie rozważam

\(\displaystyle{ 3+|y|\le x}\) ale stąd nic ciekawego nie dostaję

Potem

\(\displaystyle{ x \le 7-z^2}\) - tak samo, nic nie dostaję

Czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ V= \int_{-2}^{2} \int_{-4}^{4} \int_{3+\left| y\right| }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}}\)

I taka całka jest równa

\(\displaystyle{ V= \int_{-2}^{2} \int_{-4}^{4} \int_{3+\left| y\right| }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}=\int_{-2}^{2} \int_{0}^{4} \int_{3+ y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}+\int_{-2}^{2} \int_{-4}^{0} \int_{3- y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}}\)

Coś w ten deseń?

[a4karo]

Po pierwsze: nie wszystkie punkty spełniające \(\displaystyle{ -2 \le z \le 2, \ -4 \le y \le 4}\) spełniają \(\displaystyle{ 3+\left| y\right| \le7-z^2}\), więc z pewnością obszar całkowania, który wyznaczyłes jest błędny

PO drugie piszesz

Następnie rozważam

\(\displaystyle{ 3+|y|\le x}\) ale stąd nic ciekawego nie dostaję

Potem

\(\displaystyle{ x \le 7-z^2}\) - tak samo, nic nie dostaję

A jednak dostajesz.

Popatrz na to tak: nierówności maja sens tylko dla \(\displaystyle{ 3\leq x\leq 7}\). Zastanów się, czym jest przekrój bryły płaszczyzną \(\displaystyle{ x=a}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ 3\leq a\leq 7.}\)
Jeżeli pole tego przekroju jest równe \(\displaystyle{ P(a)}\), to objetośc obliczysz przy pomocy wzoru \(\displaystyle{ V=\int_3^7 P(a)da}\)

[kerajs]

Możesz to rozwiązywać także standardowo:
\(\displaystyle{ 3+\left| y\right| \le7-z^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ge 0 \\ 3+\left| y\right| \le7-z^2 \end{cases} \vee \begin{cases} y < 0 \\ 3+\left| y\right| \le7-z^2 \end{cases}\\
\begin{cases} y \ge 0 \\ 3+y \le7-z^2 \end{cases} \vee \begin{cases} y < 0 \\ 3-y \le7-z^2 \end{cases}}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ V=\int_{-2}^{2} \int_{0}^{???} \int_{3+ y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}+ \int_{-2}^{2} \int_{???}^{0} \int_{3- y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}}\)

Oczywiście, ze względu na symetrię tej bryły, objętość można policzyć jedną całką.

[legolas]

Możesz to rozwiązywać także standardowo:
\(\displaystyle{ 3+\left| y\right| \le7-z^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ge 0 \\ 3+\left| y\right| \le7-z^2 \end{cases} \vee \begin{cases} y < 0 \\ 3+\left| y\right| \le7-z^2 \end{cases}\\
\begin{cases} y \ge 0 \\ 3+y \le7-z^2 \end{cases} \vee \begin{cases} y < 0 \\ 3-y \le7-z^2 \end{cases}}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ V=\int_{-2}^{2} \int_{0}^{???} \int_{3+ y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}+ \int_{-2}^{2} \int_{???}^{0} \int_{3- y }^{7-z^2}\dd{x} \dd{y}\dd{z}}\)

Oczywiście, ze względu na symetrię tej bryły, objętość można policzyć jedną całką.

Hmm, powinienem był ograniczyć \(\displaystyle{ y}\) w zależności od \(\displaystyle{ z}\), prawda?

\(\displaystyle{ x \le 7-z^2}\) - tak samo, nic nie dostaję

A jednak dostajesz.

Stąd zachodzi \(\displaystyle{ x \le 7}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\RR}\)

[a4karo]

Jak sobie ustalisz \(\displaystyle{ x}\), to jakie \(\displaystyle{ z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x\leq 7-z^2}\) ?
Nie patrz na wolframa, bo ewidentnie nie potrafisz zinterpretowac wyników, tyko pomyśl i policz.

Stąd zachodzi \(\displaystyle{ x \le 7}\) oraz \(\displaystyle{ z\in\RR}\)

Tak, np \(\displaystyle{ x=7}\) i \(\displaystyle{ z=10}\)

[legolas]

Czyżby powinno być

\(\displaystyle{ x\le7 \\ \left| z\right| \le \sqrt{7-x}}\)

?

[a4karo]

Tak. Zrób podobną rzecz z lewą stroną

[legolas]

No to \(\displaystyle{ \left| y\right| \le x-3}\)

Czyli, że niby powinny być takie ograniczenia?

\(\displaystyle{ 3 \le x \le 7 \\ - \sqrt{7-x} \le z \le \sqrt{7-x} \\ 3-x \le y \le x-3}\)

[a4karo]

No własnie takie. Przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) czym jest ten obszar w płaszczyznie \(\displaystyle{ OYZ}\)?