Oblicz objętość bryły

[legolas]

Ograniczoną płaszczyznami:
\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge z^2 \\ x^2+y^2+\left(\frac{z}{2}-1\right)^2\le1}\)

No i na początek sobie zamieniłem \(\displaystyle{ z=2z'}\), więc \(\displaystyle{ J=2}\) (pominę apostrof, aby uprościć zapis)

\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 4z^2 \\ x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\le1}\)

Narysowałem sobie z boku jak wygląda \(\displaystyle{ x^2+y^2 \ge 4z^2}\) dla \(\displaystyle{ y=0}\) - wychodzi taka klepsydra \(\displaystyle{ (x^2\ge 4z^2 \Rightarrow |x|\ge2|z|)}\)


No i potem na to nakładam sobie \(\displaystyle{ x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\le1}\), znowu \(\displaystyle{ y=0}\) i stwierdzam, że to jest objętość kuli bez części wydrążonej przez ten stożek od góry.

Więc ustalam dolną granicę całkowania, czyli od tej kuli:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-1)^2\le 1 \Rightarrow z \ge 1-\sqrt{1-x^2-y^2}}\)

Górna granica z kolei jest od tego stożka:

\(\displaystyle{ z^2\le x^2+y^2 \Rightarrow z\le \sqrt{x^2+y^2}}\)

Teraz współrzędne biegunowe, czyli \(\displaystyle{ 1-\sqrt{1-r^2} \le z \le r}\)

wyliczam promień:

\(\displaystyle{ 4z^2=r^2 \Rightarrow r^2+\left( \frac{r}{2}-1 \right) ^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le r\le0.8}\)

no i kąt standardowo, od \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi}\)

Czyli suma sumarum

\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{0.8} \int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{r}2r\dd{z}\dd{r}\dd{\varphi}}\)

Aczkolwiek wychodzi zespolony wynik, czyli coś jest źle. Ale co?

[SidCom]

Ograniczoną płaszczyznami:

pierwsze to stożek, drugie to elipsoida

[legolas]

Świetnie, ale to mi w niczym nie pomaga.

[kerajs]

\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 4z^2 \\ x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\le1}\)

No i potem na to nakładam sobie \(\displaystyle{ x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\le1}\), znowu \(\displaystyle{ y=0}\) i stwierdzam, że to jest objętość kuli bez części wydrążonej przez ten stożek od góry.

Mogłeś także wybrać objetość którą odrzuciłeś.

Więc ustalam dolną granicę całkowania, czyli od tej kuli:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-1)^2\le 1 \Rightarrow z \ge 1-\sqrt{1-x^2-y^2}}\)
Górna granica z kolei jest od tego stożka:
\(\displaystyle{ z^2\le x^2+y^2 \Rightarrow z\le \sqrt{x^2+y^2}}\)

Tu jest błąd. Powinno być:
\(\displaystyle{ 4z^2\le x^2+y^2\Rightarrow 2z\le \sqrt{x^2+y^2}}\)
Wymieszałeś równania w starych i w nowych współrzędnych.

Inaczej (już w nowych współrzędnych):
Szukam przecięcia stożka i sfery (bez wprowadzenia nowych zmiennych byłby to stożek i elipsoida)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2= 4z^2 \\ x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1 \end{cases} \\
4z^2+(z-1)^2=1\\
z=0 \vee z= \frac{2}{5}}\)
Warto się jeszcze zastanowić czy stożek przecina sferę pod czy nad jej równikiem równoległym do z=0.
Gdyby przecinał ją nad równikiem to szukana objętość będzie sumą dwóch objętości:
1) Objętością miedzy dolną półsferą a górnym stożkiem (obszarem całkowania jest koło)
2) Objętością miedzy dolną a górną półsferą (obszarem całkowania jest pierścień opasujący koło z 1.))

[legolas]

Mhm, czyli nadal coś jest nie tak i trzeba będzie chyba jednak liczyć to z dwóch objętości

\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{0.4} \int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{ \frac{r}{2} }2r\dd{z}\dd{r}\dd{\varphi}}\)



I tu nie wiem zbytnio co zrobić

[kerajs]

Akurat promień miałeś dobrze policzony, ja jedynie chciałem pokazać inną drogę do
jego wyliczenia:
\(\displaystyle{ z= \frac{2}{5} \Rightarrow x^2+y^2=4(\frac{2}{5})^2 \Rightarrow r=\frac{4}{5}}\)
Twoja objętość to:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{0,8} \int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{ \frac{r}{2} }2r\dd{z}\dd{r}\dd{\varphi}}\)


Czasem zbytnie zaufanie do programów jest zgubne.
Wstaw do wzoru 0.8 zamiast (4/5) i zobacz co wolfram wygeneruje. (do modów: proszę nie zmieniać liczb z tej linijki).

[legolas]

Dobra, już zrozumiałem czemu. Formę \(\displaystyle{ 0.8}\) zapisze jako float i będzie miało 17 cyfr precyzji, stąd zły wynik. Dzięki

[SidCom]

Świetnie, ale to mi w niczym nie pomaga.

Mam jednak nadzieję, że pomaga, tzn.

1. nie powiesz nigdy więcej "płaszczyzna" myśląc o powierzchni
2. masz wyobrażenie tego co jest do policzenia

[legolas]

1. nie powiesz nigdy więcej "płaszczyzna" myśląc o powierzchni

Ok, tu masz rację.

2. masz wyobrażenie tego co jest do policzenia

Przecież wiedziałem co liczę - po wprowadzeniu nowych współrzędnych...

...stwierdzam, że to jest objętość kuli bez części wydrążonej przez ten stożek od góry.