Reguła łańcuchowa

[Jujka123]

Witam!

Dane są funkcje \(\displaystyle{ \vec{g}:R \rightarrow R ^{2} ; f :R ^{2} \rightarrow R}\)

\(\displaystyle{ \vec{g}(t) = {g _{1}(t) \choose g _{2}(t)}= { \frac{1}{t} \choose t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{2}+y ^{2}}\)

Oblicz pochodne funkcji \(\displaystyle{ (f \circ g)(t) = f(g(t))}\) na dwa sposoby:

a)oblicz szczegółowo wyrażenie \(\displaystyle{ (f \circ g)(t)}\) i zróżniczkuj go
b) użyj reguły łańcuchowej:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt} (f \circ g)(t) = grad f(g(t)) * \vec{g}(t)}\)

Mógłby ktoś pomóc mi zacząć?

[a4karo]

1. Napisz wzór na funkcję \(\displaystyle{ f\circ g}\)
2. Oblicz \(\displaystyle{ \mathrm{grad }f}\) i \(\displaystyle{ (\vec{g}(t))'}\) (takie cos powinno być we wzorze)

[Jujka123]

Liczę, myślę, czytam i same niemądre rzeczy wymyśliłam. Próbowałam ułożyć równanie do punktu 1. ale nie wyszło. (Chciałam korzystać z tego wzoru:
\(\displaystyle{ z=f(x,y),x=g(u,v),y=h(u,v)}\) - lecz utknęłam w martwym punkcie!

Z drugim punktem:
mam \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} =2x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} =2y}\)
\(\displaystyle{ grad= [2x, 2y]}\)

\(\displaystyle{ ( \vec{g}(t))'= {- \frac{1}{t ^{2} } \choose 2t}}\)

Więcej dobrego lub złego nie potrafiłam zrobić, będę wdzięczna za dalszą pomoc, gdyż ja już nie mam pojęcia!

[a4karo]

No to teraz ile wyniesie \(\displaystyle{ \mathrm{grad} f(g(t))}\) ? I co dostaniesz jak to pomnożysz przez \(\displaystyle{ g'}\)? dodatkowe pytanie: o jakie mnożenie tutaj chodzi?

EDIT: poprawa literówek

[Jujka123]

chyba to co teraz napisz będzie niestety głupotą.

\(\displaystyle{ gradf(g(t))=8t}\)

i może wyjść:
i jak pomnożymy to wychodzi;
\(\displaystyle{ {- \frac{8}{t} \choose 16t}}\)

Albo jeszcze znalazłam coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{f( \vec{(g}(t)) - f( \vec{g}(t _{0})) }{t-t _{0} }= gradf( \vec{g}(t)) * \frac{ \vec{g}(t) - \vec{g}(t _{0}) }{t-t _{0}} + \frac{r( \vec{g}(t) - \vec{g}(t _{0} )) }{t-t_0}}\)

[a4karo]

Oj, mam wrażenie, że nie wiesz na czym polega skłądanie funkcji:

masz tu funkcję \(\displaystyle{ g(t)}\) (pomijam symbol wektora, bo tylko zaciemnia sprawę]. Ta funkcja liczbie \(\displaystyle{ t}\) przypisuje parę liczb \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\). Czy potrafisz napisać jaka to para?

Z kolei funkcja \(\displaystyle{ \mathrm{grad} f}\) przypisuje parze \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb wektor \(\displaystyle{ [2x,2y]}\). Jeżeli para \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ t}\) przez odwzorowanie \(\displaystyle{ g}\), to jak będzie wyglądał wektor \(\displaystyle{ \mathrm{grad} f(g(t))}\) ?


Z ciekawości: czym jest \(\displaystyle{ r}\) we wzorze, który znalazłaś?

Matematyka nie polega na tym, że szuka się w książkach wzorków, które moga pasować do zadania, tylko na tym, że pewne wzorki się rozumie - to nie jest ciąg robaczków, tylo opis pewnych zjawisk w języku matematyki.

Np. fakt, że \(\displaystyle{ h'(4)=-7}\) oznacza, że jak weźmiesz krótki odcineczek \(\displaystyle{ [x,y]}\) o długości \(\displaystyle{ a}\) położony bliziutko punktu 4, to funkcja \(\displaystyle{ h}\) przekształci ten odcineczek na inny odcinek, którego długośc będzie mniej więcej równa \(\displaystyle{ 7a}\) (o tym mówi wartośc bezwzględna pochodnej), i na dodatek ten odineczek będzie odwrócony (tzn \(\displaystyle{ f(x)<f(y)}\))

[Jujka123]

Jak mam być szczera, nie wiem kompletnie o czym Pan mówi, muszę się doszkolić.

Co do r - nie wiem sama, jest tylko zapisane w moim wzorze.

Co do matematyki, że się nie opiera na wzorach wiem i mam tego pełną świadomość, często robię inaczej niż jest podane, to jak rozumiem. Tutaj bardziej zawinęło to, że nie zrozumiałam nic na wykładzie.

[a4karo]

To miłego doszkalania. I nie przepisuj bezmyslnie wzorów jak nie wiesz o co w nich chodzi.

Przeanalizuj to, co napisałem