[MIX] Niektóre zadanka z warsztatów Staszica

[Swistak]

Jeju, zawsze na wszystko musisz wytaczać takie armaty ? Nie fajniej jest zrobić zadanie jakimś sprytnym mykiem, aniżeli schematycznie takimi młotami ?

[tkrass]

Daj im tę śmieszną geometrię, która poszła nam tylko na pałowanie, zobaczymy czy wykminią.

[Dumel]

Jeju, zawsze na wszystko musisz wytaczać takie armaty ?

to był co najwyżej pistolecik armatą byłoby jechanie z funkcji supermodularnych ale takim skończonym chamem i prostakiem nie jestem

Nie fajniej jest zrobić zadanie jakimś sprytnym mykiem, aniżeli schematycznie takimi młotami ?

Jensen nie wydaje mi się taki schematyczny,a poza tym skoro nikt w czasie trwania waszych warsztatów tego zadania nie zrobił, to tych myków chyba potrzeba dosyć sporo. Chyba że masz na myśli moje rozwiązania tej kombinatoryki ale nie wydają mi się zbyt armatnie

[Swistak]

Możliwe, że Jensen nie jest schematyczny, ale o nim, to ja wolę nic nie wiedzieć xD.

[Klorel]

Możliwe, że Jensen nie jest schematyczny, ale o nim, to ja wolę nic nie wiedzieć xD.

Zamiast Jensen staraj się używac sformułowania sam-wiesz-kto.


sry za offtop.

[binaj]

Znajdź wzystkie liczby pierwsze p, dla których istnieje liczba naturalna n, taka, że zachodzi \(\displaystyle{ p|2^{n}+3^{n}+6^{n}-1}\)

dla \(\displaystyle{ p \in (2,3)}\) \(\displaystyle{ n=2}\) spełnia warunki zadania

w dalszej części rozwiązania załóżmy, że \(\displaystyle{ p \notin (2,3)}\)

dla \(\displaystyle{ n=p-2}\) mamy z MTF:
\(\displaystyle{ 2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1 \equiv
6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1) \equiv 3 \cdot 2^{p-1}+2 \cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6 \equiv 3+2+1-6 \equiv 0 (mod p)}\)

toteż dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) instnieje takie \(\displaystyle{ n}\), dla którego \(\displaystyle{ p|2^{n}+3^{n}+6^{n}-1}\), co kończy rozwiązanie zadania-- 4 października 2009, 16:12 --

Na okręgu mamy danych 3k punktów. Te punkty dzielą okrąg na k łuków o długości 1, k łuków o długości 2, k łuków o długości 3. Udowodnić, że istnieje średnica tego okręgu o końcach w danych punktach.

załóżmy, że nie istnieje taka średnica
niech dany będzie łuk o długości 1, zauważmy, że "na przeciwko" tego łuku musi znajdować się łuk o długości 3, toteż każdemu łukowi o dł. 1 odpowiada pewien łuk dł.3 i odwrotnie
zaznaczmy te łuki na okręgu, weźmy jeden o dł. 1 i przeciwny mu jeden o dł. 3, po lewej ich stronie jest 3k-2 wolnych miejsc na łuki, tak samo po prawej ich stronie, niech po lewej stronie będzie m łuków o dł. 1, zatem po prawej stronie jest m łuków o dł. 3 co daje k-m-1 łuków o dł. 3 po lewej stronie, niech po lewej stronie znajduje się l łuków o dł. 2, mamy równanie:

\(\displaystyle{ m+3(k-m-1)+2l=3k-2 \Leftrightarrow 2(l-m)=1}\) sprzeczność

[marek12]

Mam pytanie odnośnie 39. Równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}\) ma rozwiązanie (0,0,0), ale to nie jest rozwiązanie tego drugiego równania. Więc czy coś nie tak czy źle zrozumiałem?

[xanowron]

Mam pytanie odnośnie 39. Równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}\) ma rozwiązanie (0,0,0), ale to nie jest rozwiązanie tego drugiego równania. Więc czy coś nie tak czy źle zrozumiałem?

Ale czy (0,0,0) jest jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}\)?

[marek12]

no nie twierdze tego

[Swistak]

Ah, przepraszam. Zapomniałem dodać, że to rozwiązanie ma być różne od \(\displaystyle{ (0; 0; 0)}\) . Oczywiście dane równanie zależnie od liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) może mieć różną liczbę rozwiązań. Przyjmując \(\displaystyle{ z=1}\) na pewno istnieje jakaś wartość c, taka, że dane równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych, dla liczb całkowitych. Zatem istnieją liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\), dla których istnieją inne rozwiązania niż \(\displaystyle{ (0; 0; 0)}\).

[Dumel]

\(\displaystyle{ 2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1 \equiv
6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)}\)

tu się troche zagalopowałeś, powinno być \(\displaystyle{ p|2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1 \Leftrightarrow p|6(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)}\)

[binaj]

dzięki, słuszna uwaga,

Wyznacz wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ n>3}\), że istnieją na płaszczyźnie takie niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}\) i takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}}\), że trójkąt \(\displaystyle{ A_{i}A_{j}A_{k}}\) ma pole \(\displaystyle{ p_{i}+p_{j}+p_{k}}\) (\(\displaystyle{ 0<i<j<k \le n)}\).

odpowiedź: \(\displaystyle{ n=4}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\) bierzemy kwadrat o boku 1 i \(\displaystyle{ p_{1}=p_{2}=p_{3}= p_{4}= \frac{1}{3}}\)

wykażemy, że dla n\(\displaystyle{ \ge 5}\) nie istnieją takie punkty, w szczególności pokażemy, że dla n=5 takie nie istnieją, nazwijmy liczbę \(\displaystyle{ p_i}\) dla \(\displaystyle{ A_i}\)jej wagą

najpierw kilka spostrzeżeń:

1) dany jest czworokąt wklęsły ABCD, gdzie D leży wewnątrz ABC, wówczas:
\(\displaystyle{ [ABC]=[BDC]+[BDA]+[DAC] \Rightarrow p_a+p_b+p_c=2(p_a+p_b+p_c)+3p_d \Rightarrow p_d= -\frac{1}{3}(p_a+p_b+p_c)}\)

2) dany jest czworokąt wypukły ABCD, wówczas:

\(\displaystyle{ [ABCD]=[ABC]+[ABD]=[ADB]+[BCD] \Rightarrow 2p_a+p_b+2p_c+p_d=p_a+2p_b+p_c+2p_d \Rightarrow p_a+p_c=p_b+p_d}\)

teraz rozważmy jak może leżeć 5 punktów:

I. 2 punkty leżą, wewnątrz pewnego trójkąta;
wówczas z 1) mamy, że te punkty mają równe wagi, czyli są jednakowo oddalone od każdego z boków tego trójkąta, czyli muszą się pokrywać, sprzeczność

II. 1 punkt (nazwijmy go M) leży wewnątrz czworokąta wypukłego :
bez straty ogólności, załóżmy,że leży on we wnętrzu ABD i ACD, z 1) dostjemy, że wagi przy C i B są równe a dołączając 2), mamy że wagi przy A i D są równe, zauważmy, zę MCBD jest wypukły, wiec z 2) waga M jest taka sama jak waga D, zatem i taka jaka A, czyli punkty A, M i D są współliniowe, sprzeczność

III. punkty tworzą pięciokąt wypukły;
badając czworokąty wypukłe ABCE i ABDE i korzystając z 2) mamy, że wagi przy C i D są sobie równe, analogicznie pokazujemy dla innych kolejnych par i dostajemy, że wszystkie wagi są sobie równe, co oznacza, że ABCD jest kwadratem i ABDE też jest kwadratem, co jest oczywiście niemożliwe

[Dumel]

oho zostały już tylko dwa zadanka
ja mam pytanie do tego o Boltolandii: chodzi o graf skierowany czy nieskierowany? (tzn czy jeśli jedna firma przewozi pasażerów z A do B, to czy zawsze ta sama firma obsługuje też połączenie z B do A?)

[Swistak]

Tak, tak, graf nieskierowany, zaraz poprawię ;P.

EDIT: Zostało jeszcze bardzo ciekawe zadanko nr 56 .

[XMaS11]

56.
Niech \(\displaystyle{ (y_1,y_2,...y_n)}\) będzie taką permutacją ciągu \(\displaystyle{ (x_1,x_2,...x_n)}\), że : \(\displaystyle{ | \sum_{i=1}^{n} iy_i|}\) jest najmniejsza. Załóżmy wbrew tezie, że \(\displaystyle{ | \sum_{i=1}^{n} iy_i|> \frac{n+1}{2}}\). Bez straty ogólności możemy założyc, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} iy_i > 0}\), czyli w rezultacie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} iy_i > \frac{n+1}{2}}\). Rozważmy \(\displaystyle{ n-1}\) liczb :
\(\displaystyle{ y_2-y_1, y_3-y_2, y_4-y_3, \ldots y_n-y_{n-1}}\).
Powiedzmy, że któraś z nich jest dodatnia :
\(\displaystyle{ y_k-y_{k-1}>0}\).
Z założenia \(\displaystyle{ |x_i| \le \frac{n+1}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ -n-1 \le y_k-y_{k-1} \le n+1}\), czyli w rezultacie:
\(\displaystyle{ 0 < y_k-y_{k-1} \le n+1}\).
Niech : \(\displaystyle{ (z_1,z_2,...z_n)=(y_1,y_2...y_{k-1},y_{k+1},y_k,y_{k+2},...y_n)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ | \sum_{i=1}^{n} iz_i|<| \sum_{i=1}^{n} iy_i|}\) (dowód raczej prosty, jak będzie potrzeba to napiszę ), sprzecznośc z założeniem o minimalności \(\displaystyle{ | \sum_{i=1}^{n} iy_i|}\).

Stąd wszystkie z wyżej wypisanych liczb muszą byc niedodatnie, co oznacza, że ciągi:
\(\displaystyle{ (1,2,...,n)}\) i \(\displaystyle{ (y_1,y_2...,y_n)}\) są przeciwnie uporządkowane, zatem z nierówności Czebyszewa :
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} iy_i \le \frac{(\sum_{i=1}^{n} y_i)(\sum_{i=1}^{n} i)}{n} \le \frac{(|\sum_{i=1}^{n} x_i|)(\frac{(n+1)n)}{2})}{n}=\frac{n+1}{2}}\) sprzecznośc, czyli mamy tezę.