Oto i one:
26. (XMaS11) \(\displaystyle{ n \in Z}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ 2+2\sqrt{28n^{2}+1}}\) jest liczbą całkowitą, to jest także kwadratem liczby całkowitej.
33. (binaj) Wyznacz wszystkie takie liczby naturalne \(\displaystyle{ n>3}\), że istnieją na płaszczyźnie takie niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}\) i takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}}\), że trójkąt \(\displaystyle{ A_{i}A_{j}A_{k}}\) ma pole \(\displaystyle{ p_{i}+p_{j}+p_{k}}\) (\(\displaystyle{ 0<i<j<k \le n)}\).
(Tu była cała jedna dwójka i kilka zer bliskich dwójkom ;P.)
38. (marek12) Liczby \(\displaystyle{ a, b, c \in [0, 1]}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \le 1}\).
39. Dane są ustalone liczby całkowite, \(\displaystyle{ a, b, c}\). Udowodnij, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}\) ma rozwiązanie w liczbach całkowitych, to równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1}\) ma rozwiązanie w liczbach wymiernych.
44. (Dumel) Udowodnij nierówność: \(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}} \ge \sqrt{3}}\), z tak dobranymi założeniami, aby mianowniki były dodatnie.
45. (Binaj) Na okręgu mamy danych 3k punktów. Te punkty dzielą okrąg na k łuków o długości 1, k łuków o długości 2, k łuków o długości 3. Udowodnić, że istnieje średnica tego okręgu o końcach w danych punktach.
(Tu była jedna dwójka.)
49. W Boltolandii jest 10 wysp. Połączenia między nimi zapewniają 2 firmy lotnicze. Z każdej wyspy można bezpośrednio dolecieć do innej wyspy za pomocą usług dokładnie 1 firmy lotniczej. Jeżeli z wysypy A do wyspy B, to tą samą firmą lotniczą można dolecieć z wyspy B do wyspy A. Udowodnij, że co najmniej jedna z firm może zorganizować 2 wycieczki spełniające podane warunki: Obie powrócą do miejsca startu, obie wycieczki nie będą miały wysp, które obie wycieczki będą zawierały w planie i obie wycieczki będą przelatywać przez nieparzystą ilość wysp.
54. (mol_ksiazkowy) Znajdź wszystkie wielomiany P(x) mający rzeczywiste współczynniki spełniające \(\displaystyle{ P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)}\) dla wszystkich trójek liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) spełniających równość \(\displaystyle{ ab+bc+ca=0}\).
Teraz dam kilka zadanek, które wg mnie były najciekawsze .
15. (Binaj)Znajdź wzystkie liczby pierwsze p, dla których istnieje liczba naturalna n, taka, że zachodzi \(\displaystyle{ p|2^{n}+3^{n}+6^{n}-1}\)
22. (Dumel / Dumel) Na każdym polu szachownicy 2009x2009 leży jeden kamień. W każdym ruchu przenosimy po 1 kamieniu, z dwóch pól, których środki leżą na prostej równoległej do boków szachownicy, między którymi jest jedno pole przerwy, na to właśnie pole. Czy można wykonywać te ruchy w nieskończoność?
P.S. Oryginalna treść zadania była bardzo niedoprecyzowana i było kilka wytłumaczeń do niej i mi gdzieś umknęło doprecyzowanie, że przenosimy po 1 kamieniu z obu pól i rozwiązałem zadanie bez tego założenia, czyli, że np. mogę z jednego pola przenieść 1 kamień, a z drugiego 4 miliony ;P. Chyba nie będzie niczym strasznym, jeżeli powiem, że odpowiedź, to
Ukryta treść:
25. (mol_ksiazkowy i Dumel) Dodatnie liczby rzeczywiste spełniają warunek \(\displaystyle{ abc=1}\). Pokazać, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} \ge \frac{3}{2}}\)
34. (Dumel) Miasta w Królestwie Hofmańskim połączone są siecią dróg tworzących drzewo. Parzysta liczba żołnierzy została rozdzielona do garnizonów w różnych miastach. Król Hofman może wydać rozporządzenie dla danego miasta nakazujące, by do każdego z jego sąsiadów zostało wysłane po jednym żołnierzu. Garnizony w miastach są ciągle zwiększane o parzystą liczbę żołnierzy tak, aby zawsze dało się wykonać rozporządzenie Hofmana. Rozstrzygnij, czy król Hofman może tak wydać rozporządzenia, aby po ich realizacji w każdym, garnizonie była parzysta liczba żołnierzy.
56. Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki:
\(\displaystyle{ |x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|=1}\) i \(\displaystyle{ |x_{i}| \le \frac{n+1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., n}\). Pokazać, że istnieje permutacja \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}}\) ciągu \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) dla której zachodzi \(\displaystyle{ |y_{1}+2y_{2}+...+ny_{n}| \le \frac{n+1}{2}}\)
To były zadania (oczywiście nie wszystkie ) z zawodów indywidualnych, możliwe, że dodam coś jeszcze z drużynowych i meczu.
