2 równania różniczkowe

[Klaudia_Joanna]

Tak, chodziło mi o rozwiązanie równania \(\displaystyle{ y''-2y'-1=0}\) i użyć metody uzmienniania stałej.

[Premislav]

Można tak zrobić, tylko nie wiem po co. Wprawdzie łatwo znaleźć rozw. szczególne równania \(\displaystyle{ y''-2y'-1=0}\) (np. \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x}\)) i potem wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ y''-2y'-1=0}\), ale potem otrzymujesz równie brzydkie rachunki. Przecież nie musisz mieć tak, jak w jakimś magicznym "kluczu profesora", ważne żeby było poprawnie.
A najwygodniejsza to jest tutaj metoda przewidywań, o której pisali poprzednicy.

[Mariusz M]

Klaudia_Joanna, chcesz uzmienniać stałe to możesz i jest to bardziej ogólny sposób
Jednorodne rozwiązujesz podstawiając \(\displaystyle{ y=e^{\lambda x}}\)
Masz stałe współczynniki więc powyższe podstawienie da równanie wielomianowe na \(\displaystyle{ \lambda}\)

Jak już rozwiążesz równanie jednorodne zakładasz że całka szczególna jest postaci

\(\displaystyle{ y_{s}\left( x\right)=C_{1}\left( x\right)y_{1}\left( x\right)+C_{2}\left( x\right)y_{2}\left( x\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ y_{1}\left( x\right)}\) oraz \(\displaystyle{ y_{2}\left( x\right)}\) dwie liniowo niezależne całki
szczególne równania jednorodnego

Wstawiasz całkę szczególną w powyższej postaci do swojego równania niejednorodnego
Otrzymane po wstawieniu całki szczególnej zapisujesz w postaci równoważnego układu równań
który rozwiązujesz tymi samymi sposobami co układu równań liniowych
Po odcałkowaniu rozwiązania tego układu równań dostajesz funkcje uzmiennionych stałych
Po obliczeniu funkcji uzmiennionych stałych wstawiasz je do wcześniej założonej postaci
całki szczególnej

\(\displaystyle{ y''-4y'+3y= e ^{2x}+x}\)

\(\displaystyle{ y''-4y'+3y=0\\
y=e^{\lambda x}\\
\lambda^2e^{\lambda x}-4\lambda e^{\lambda x}+3e^{\lambda x}=0\\
\lambda^2-4\lambda+3=0\\
\left( \lambda-1\right)\left( \lambda-3\right)=0\\
y_{o}=C_{1}e^{x}+C_{1}e^{3x}\\
y_{s}\left( x\right) =C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}\left( x\right) e^{3x} \\}\)

\(\displaystyle{ y_{s}\left( x\right)=C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}\left( x\right) e^{3x}\\
y_{s}'\left( x\right)=C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}'\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}\left( x\right) e^{3x}\\
y_{s}''\left( x\right)=C_{1}''\left( x\right)e^{x}+C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{1}'\left(x \right)e^{x}+C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}'\left( x\right)e^{3x}+3\left( C_{2}'\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}\left( x\right)e^{3x} \right) \\
y_{s}''\left( x\right)=C_{1}''\left( x\right)e^{x}+2C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}+6C_{2}'\left(x \right)+9C_{2}\left( x\right)e^{3x} \\}\)

\(\displaystyle{ C_{1}''\left( x\right)e^{x}+2C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}+6C_{2}'\left(x \right)+9C_{2}\left( x\right)e^{3x}\\-4\left(C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}'\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}\left( x\right) e^{3x} \right)+3\left(C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}\left( x\right) e^{3x} \right)=e^{2x}+x\\
C_{1}''\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}-2C_{1}'\left( x\right)e^{x}+2C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x\\}\)

\(\displaystyle{ \left( C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{2}'\left( x\right)e^{3x} \right)'=C_{1}''\left( x\right)e^{x}+C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}'\left( x\right) e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ C_{1}''\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}-2C_{1}'\left( x\right)e^{x}+2C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x\\
\left(C_{1}''\left( x\right)e^{x}+C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{2}''\left( x\right)e^{3x}+3C_{2}'\left( x\right) e^{3x} \right)-3C_{1}'\left( x\right)e^{x}-C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x \\
\left( C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{2}'\left( x\right)e^{3x} \right)'-3C_{1}'\left( x\right)e^{x}-C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x\\
\begin{cases} C_{1}'\left( x\right)e^{x}+C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=0 \\ -3C_{1}'\left( x\right)e^{x}-C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x \end{cases} \\
\begin{cases} -2C_{1}'\left( x\right)e^{x}=e^{2x}+x \\ 2C_{2}'\left( x\right)e^{3x}=e^{2x}+x \end{cases} \\
\begin{cases} C_{1}'\left( x\right)=-\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}xe^{-x} \\ C_{2}'\left( x\right)=\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{2}xe^{-3x} \end{cases}\\
C_{1}\left( x\right)=-\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}\left(-xe^{-x}+\int{e^{-x} \mbox{d}x }\right) \\
C_{2}\left( x\right)=-\frac{1}{2}e^{-x}+ \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}xe^{-3x}+\frac{1}{3}\int{e^{-3x}\mbox{d}x}\right)\\
C_{1}\left( x\right)=-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}xe^{-x}+\frac{1}{2}e^{-x}\\
C_{2}\left( x\right)=-\frac{1}{2}e^{-x}-\frac{1}{6}xe^{-3x}-\frac{1}{18}e^{-3x}\\
y_{s}\left( x\right) =\left(-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}xe^{-x}+\frac{1}{2}e^{-x} \right)e^{x}+\left(-\frac{1}{2}e^{-x}-\frac{1}{6}xe^{-3x}-\frac{1}{18}e^{-3x} \right)e^{3x}\\
y_{s}\left( x\right) =-\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{6}x-\frac{1}{18}\\
y_{s}\left( x\right) =-e^{2x}+\frac{1}{3}x+\frac{4}{9}\\
y\left( x\right)=y_{o}\left( x\right) +y_{s}\left( x\right)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}-e^{2x}+\frac{1}{3}x+\frac{4}{9}\\}\)

Co do przewidywania to może i jest to szybszy sposób ale ma wąski zakres stosowania
poza tym dużo w niej zapamiętywania
Na przewidywanie trzeba uważać bo co jeśli w części niejednorodnej
będzie k krotna całka szczególna równania jednorodnego
Na pierwszy rzut oka nie widać przez co należy pomnożyć przewidywaną postać całki szczególnej
i dlaczego akurat przez to

Klaudio rozwiązałem ci równanie a)
Spróbuj rozwiązać równanie b)
w podobny sposób

W b) można także obniżyć rząd równania zmieniając zmienną zależną
\(\displaystyle{ u=y'\\
u'=y''}\)

\(\displaystyle{ y''-2y'=2x+1\\
u=y'\\
u'=y''\\
u'-2u=2x+1\\}\)

\(\displaystyle{ u'-2u=0\\
u'=2u\\
\frac{u'}{u}=2\\
\frac{ \mbox{d}u}{u}=2 \mbox{d}x \\
\ln{\left| u\right| }=2x+C\\
u\left( x\right)=C\left( x\right) e^{2x}\\}\)

\(\displaystyle{ u\left( x\right)=C\left( x\right) e^{2x}\\
C'\left( x\right) e^{2x}+2C\left( x\right) e^{2x}-2C\left( x\right) e^{2x}=2x+1\\
C'\left( x\right) e^{2x}=2x+1\\
C'\left( x\right) =\left(2x+1 \right) e^{-2x}\\
C\left( x\right)=-\frac{1}{2}\left(2x+1 \right)e^{-2x}+\int{e^{-2x} \mbox{d}x }\\
C\left( x\right)=-\frac{1}{2}\left(2x+1 \right)e^{-2x}-\frac{1}{2}e^{-2x}\\
C\left( x\right)=-\left( x+1\right) e^{-2x}+C_{1}\\
u\left( x\right)=-\left( x+1\right)+C_{1}e^{2x}\\}\)

\(\displaystyle{ y'=-\left( x+1\right)+C_{1}e^{2x}\\
\mbox{d}y=\left(-\left( x+1\right)+C_{1}e^{2x} \right) \mbox{d}x \\
y\left( x\right)=- \frac{1}{2}\left( x+1\right)^2+\frac{1}{2}C_{1}e^{2x}+C_{2}\\}\)

Klaudio uczysz się sama ?
Jeśli tak to zanim przejdziesz do układów równań różniczkowych to przypomnij sobie wiadomości z
algebry liniowej np wartości i wektory własne i exponenta macierzy
W przypadku równania różniczkowego liniowego wstawiasz \(\displaystyle{ y=e^{\lambda t}}\)
w przypadku układu równań będziesz liczyła wartości i wektory własne bądź exponente macierzy
W układach równań różniczkowych też jest uzmiennianie stałych poza tym jak już wcześniej wspomniałem jest to metoda która pozwoli rozwiązać każde równanie niejednorodne znając rozwiązanie
równania jednorodnego pod warunkiem że będziemy umieli policzyć pojawiające się podczas uzmienniania stałych całki więc warto się tej metody nauczyć
i to najlepiej na takich przykładach które nie są żmudne rachunkowo np na takich które podałaś

Oczywiście równanie różniczkowe wyższego rzędu można zamienić na układ równań różniczkowych
pierwszego rzędu i odwrotnie

[Klaudia_Joanna]

Bardzo dziękuję za pomoc Premislav, i mariuszm, o to właśnie mi chodziło, czego nie wiedziałam, teraz już zaczynam rozumieć mam nadzieję, że powolutku to przećwiczę i coś z tego wyjdzie pozdrawiam