Asymptoty a dziedzina

[Jan Kraszewski]

W tym przykładzie to prawda, jednak istnieją oczywiście funkcję o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\) z asymptotami pionowymi.

Na przykład?

JK

[Jakuss]

@JK a przykładem takiej funkcji nie będzie np. \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \ dla \ x \neq 0\\0 \ \ \ dla\ x=0\end{cases}}\) ?

[Poszukujaca]

Dokładnie tak. I musisz podać, że chodzi o asymptotę prawo/lewostronną.

Przy okazji: warto rozwiać mit o tym, że krzywa zbliża sie do asymptoty. Otóż, wbrew temu, co twierdzą niektórzy, krzywa może przecinać asymptotę nawt nieskończenie wiele razy. Przykłądem może być funkcja \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{1+x^2}}\), której asymptota poziomą z oby stron jest prosta ???

Oczywiście asymptotą tej funkcji będzie prosta \(\displaystyle{ y=0}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow \pm \infty}\)

Dziękuję za tą cenną uwagę. Rzeczywiście mówienie, że funkcja zbliża się do prostej, która jest asymptotą pasuje tylko do niektórych przypadków, wiec w ogólności nie powinno sie tak mowić.

@JK a przykładem takiej funkcji nie będzie np. \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \ dla \ x \neq 0\\0 \ \ \ dla\ x=0\end{cases}}\) ?

Moim zdaniem to dobry przykład na obalenie tego, że gdy dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, to nie ma ona asymptot pionowych.
Czekam na rozwój dyskusji.

[szachimat]

Poszukujaca, napisałaś: "Rzeczywiście mówienie, że funkcja zbliża się do prostej, która jest asymptotą pasuje tylko do niektórych przypadków, wiec w ogólności nie powinno sie tak mowić."
Jeżeli jest to pod moim adresem, to podkreślam to co napisałem, że już "Sensowniej jest powiedzieć, że w nieskończoności wykres przybliża się do asymptoty" niż: "funkcja ma nieograniczoną dziedzinę z dołu lub z góry" (i w związku z tym miałaby mieć asymptoty ukośne).
Natomiast nigdzie nikt w tym temacie poruszonym przez Ciebie nie stwierdził, że "krzywa nie może przecinać asymptoty", a już na pewno ja tak nie twierdzę. (Chociażby w ostatnich postach Piaska i moim na stronie: 385461.htm ten problem był rozważany).
Natomiast gdybym był skrupulatny, to dam Ci zadanie: "Wyznacz równanie asymptoty ukośnej dla funkcji np.\(\displaystyle{ y=2x+3}\)" (i wtedy porozmawiamy co w tym przypadku się dzieje).
A na Twoje ostatnie stwierdzenie: "Moim zdaniem to dobry przykład na obalenie tego, że gdy dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, to nie ma ona asymptot pionowych.
Czekam na rozwój dyskusji" - przyznaję, że rzeczywiście jest to dobry przykład (a Jan Kraszewski wcale nie napisał, że nie ma takich przykładów)

[Poszukujaca]

Poszukujaca
Natomiast nigdzie nikt w tym temacie poruszonym przez Ciebie nie stwierdził, że "krzywa nie może przecinać asymptoty", a już na pewno ja tak nie twierdzę.

To było tylko moje przypuszczenie

[szachimat]

W związku z tym co napisałaś wyżej "Przeprowadziłam cały schemat badania jej zmienności" twierdzę, że znasz wszystkie kroki, łącznie z wyznaczaniem asymptot ukośnych. To jeszcze raz zapytam: co by wyszło z wyliczeń, gdybyś robiąc przebieg wyliczała asymptotę ukośną dla funkcji \(\displaystyle{ y=2x+3}\)?

[Poszukujaca]

szachimat, z obliczeń wyszłoby, że sama funkcja jest swoją własną asymptotą. Obliczenia te byłyby analogiczne dla każdej funkcji liniowej. Podejrzewam, że pominęłam jakieś istotne założenia co do istnienia asymptot.

[szachimat]

Właśnie nie. I tu zaczynamy się zagłębiać w istotę definicji asymptoty ukośnej. Dla intuicyjnego zrozumienia uczniom w szkole podpowiada się, że najprościej jeżeli wyobrażą sobie linię, do której w nieskończoności przybliża się wykres. A i to niektórych przerasta. Natomiast na tym forum ludzie czepiają się najmniejszych szczególików.
"Wbrew temu, co twierdzą niektórzy, krzywa może przecinać asymptotę nawet nieskończenie wiele razy" - powinienem zapytać kto tak twierdzi? Przecież wszyscy powinni wiedzieć, że to nieprawda.
I w końcu obalamy mit, że krzywa zbliża się do asymptoty (chociaż sam po części podkreślałem, że w większości przypadków jest to łatwiejsze do wyobrażenia uczniom). Otóż w definicji asymptoty ukośnej \(\displaystyle{ y=ax+b}\) mamy, że w nieskończoności różnica pomiędzy wartością funkcji a wartością asymptoty dąży do zera. A w przypadku funkcji liniowej jest ona dokładnie równa zero, czyli mamy tutaj coś, czego przeciętny uczeń nie byłby w stanie zrozumieć - asymptota pokrywa się z funkcją liniową (wytłumaczyłem tak, jak ja to rozumiem, choć i tak niektórzy coś znajdą, np przecinek, którego będą się czepiać).

Szach i Mat

[Poszukujaca]

Genialne!

[Dilectus]

Zgodnie z definicją, asymptota to prosta, do której funkcja chce, ale nie może.

Tak w szkole mówiliśmy o asymptotach.

[a4karo]

(...)
"Wbrew temu, co twierdzą niektórzy, krzywa może przecinać asymptotę nawet nieskończenie wiele razy" - powinienem zapytać kto tak twierdzi? (...)

Otóż od ładnych paru lat uczę matematyki kandydatów na inżynierów i stwierdzenie, że krzywa może się przecinać z asymptotą jest przyjmowane z niezmiennym zdziwieniem.
Nie czepiam się szczegółów, ale chciałem po prostu uświadomić ten - jak widać z praktyki - nieoczywisty dla wielu fakt.

[szachimat]

a4karo, cieszę się, że pomimo dosyć długiego drążenia tematu, doszliśmy do jednakowych wniosków, a najważniejsze, że autorce postu mam nadzieję wyjaśniliśmy wszystkie wątpliwości (a może i inni coś z tego skorzystali, bo na chwilę obecną widzę 260 wyświetleń).