Asymptoty a dziedzina

[Poszukujaca]

Mam znaleźć asymptoty funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\).
Dziedzina tej funkcji to: \(\displaystyle{ D_{f}=(-1,1]}\)

Czy za asymptotę tej funkcji możemy uznać prostą \(\displaystyle{ x=-1}\) mimo iż istnieje tylko prawostronna granica przy \(\displaystyle{ x \rightarrow -1}\)?
Czy asymptotą tej funkcji może być prosta \(\displaystyle{ y=0}\)?

[Andreas]

Czy za asymptotę tej funkcji możemy uznać prostą \(\displaystyle{ x=-1}\)

Tak.

Czy asymptotą tej funkcji może być prosta \(\displaystyle{ y=0}\)?

Nie.

[szachimat]

Mam znaleźć asymptoty funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\).
Dziedzina tej funkcji to: \(\displaystyle{ D_{f}=(-1,1]}\)

Czy za asymptotę tej funkcji możemy uznać prostą \(\displaystyle{ x=-1}\) mimo iż istnieje tylko prawostronna granica przy \(\displaystyle{ x \rightarrow -1}\)?
Czy asymptotą tej funkcji może być prosta \(\displaystyle{ y=0}\)?

Asymptota może być tylko jednostronna, natomiast prosta \(\displaystyle{ y=0}\) nie jest asymptotą poziomą, bo pojęcie to dotyczy nieskończoności, a my mamy dziedzinę taką jak napisałaś.

[Poszukujaca]

Czy zatem funkcje, ktorych dziedziną jest przedział ("ograniczony" z obu stron) nie mają w ogóle asymptoty ukośnych (poziomych)?

[szachimat]

Zgadza się - nie mają.

[Poszukujaca]

A co z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^{2}-1}}\)
Jej dziedzina to nie zbior liczb rzeczywistych, ale suma przedziałów nieograniczonych. I co wtedy?

[szachimat]

Ale ta funkcja w nieskończoności przyjmuje jakieś wartości, czyli może mieć np. asymptotę ukośną. A czy ma - nie chce mi się teraz liczyć, bo nie to jest istotą pytania.

[Poszukujaca]

Wykres funkcji wygląda tak: ... 29&x=0&y=0
Zastanawia mnie, czy \(\displaystyle{ y=0}\) może być asymptotą ukośną.-- 31 mar 2015, o 23:30 --Już zrozumiałam. Funkcja może mieć asymptoty ukośne przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \pm \infty}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ma nieograniczoną dziedzinę z dołu lub z góry.

[szachimat]

Myślę, że rozumujesz dobrze, lecz zapis, że funkcja ma nieograniczoną dziedzinę z dołu lub z góry, jest niepoprawny. Sensowniej jest powiedzieć, że w nieskończoności wykres przybliża się do asymptoty.

[a4karo]

Zastanawia mnie, czy \(\displaystyle{ y=0}\) może być asymptotą ukośną.

Tak. Każda asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.

[Poszukujaca]

Jeszcze mam pytanie co do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ex^{-x}}\)
Przeprowadziłam cały schemat badania jej zmienności. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, więc nie ma asymptot pionowych. Dziedzina wskazuje na możliwość istnienia asymptot ukośnych.
Gdy liczę współczynniki \(\displaystyle{ a, b}\), oba wychodzą zerowe, co oznaczałoby, że asymptotą jest prosta \(\displaystyle{ y=0}\). Ale czy może tak rzeczywiście być skoro funkcja przyjmuje wartosci dodatnie na przedziale \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\), a dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 0)}\) - ujemne?

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ex^{-x}}\)nie jest okreslona dla wszystkich rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) (chyba że podałaś błedny wzór).
Podejrzewam,że chodziło Ci o \(\displaystyle{ xe^{-x}}\).

Oczywiście funkcja może mieć różne asymptoty w plus i minus nieskończoności. Ta akurat ma asymptotę tylko z jednej strony i jest nią, jak wyliczyłaś, \(\displaystyle{ y=0}\)

[Poszukujaca]

Tak, zrobiłam literówkę. Chodziło o funkcje: \(\displaystyle{ f(x)=xe^{-x}}\).

Czy trzeba dopisać, że jest to asymptotą jednostronna - prawostronna? Czyli funkcja ma asymptotę przy \(\displaystyle{ x \rightarrow +\infty}\) a przy \(\displaystyle{ x \rightarrow -\infty}\) nie ma?

[a4karo]

Dokładnie tak. I musisz podać, że chodzi o asymptotę prawo/lewostronną.

Przy okazji: warto rozwiać mit o tym, że krzywa zbliża sie do asymptoty. Otóż, wbrew temu, co twierdzą niektórzy, krzywa może przecinać asymptotę nawt nieskończenie wiele razy. Przykłądem może być funkcja \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{1+x^2}}\), której asymptota poziomą z oby stron jest prosta ???

[Andreas]

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, więc nie ma asymptot pionowych.

W tym przykładzie to prawda, jednak istnieją oczywiście funkcję o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\) z asymptotami pionowymi.