na wykładzie z Jakościowej teorii RRZ pojawiło się Przekształcenie powrotu Poincarego, definicja:
Piszę e bez akcentu, bo nie widzę nigdzie pod ręką.Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie zamkniętą krzywą fazową pewnego pola wektorowego M. Weźmy kiełek S hiperpłaszczyzny transwersalnej (tj. pod niezerowym kątem) do \(\displaystyle{ \gamma}\) w pewnym punkcie \(\displaystyle{ p_0\in \gamma}\). Z punktów \(\displaystyle{ x_0\in S}\) startuje rozwiązanie \(\displaystyle{ \gamma(t;x_0)}\), które po pewnym czasie \(\displaystyle{ T(x_0)}\) znowu trafia w S, \(\displaystyle{ \gamma(T(x_0);x_0)\in S.}\) Powstające w ten sposób odwzorowanie \(\displaystyle{ f\colon S \rightarrow S}\) (dyfeomorfizm z odpowiednią dziedziną) \(\displaystyle{ f(x_0)=gamma(T[x_0);x_0)}\) nazywa się przekształceniem powrotu Poincarego.
Czy zawsze coś takiego istnieje? Prowadzący mówi, że to wynika z ciągłej zależności rozw. od parametru i nie chce powiedzieć nic więcej. Jest w definicji uwaga, że "z odpowiednią dziedziną", ale rozpatrzmy np. takie pole jak na rysunku z odwróconymi strzałkami.
Wtedy dla każdego np. koła S prostopadłego do cyklu granicznego istnieją rozwiązania, które z niego wychodzą i nie istnieje S jak w definicji.
Proszę o komentarz, czy dobrze rozumiem tę definicję? Widzę ideę, ale po prostu nie wygląda to na dobrą definicję. Uprzejmie proszę o wyjaśnienie.
Pozdrawiam