Matematyka.pl

Witam,
na wykładzie z Jakościowej teorii RRZ pojawiło się Przekształcenie powrotu Poincarego, definicja:

Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie zamkniętą krzywą fazową pewnego pola wektorowego M. Weźmy kiełek S hiperpłaszczyzny transwersalnej (tj. pod niezerowym kątem) do \(\displaystyle{ \gamma}\) w pewnym punkcie \(\displaystyle{ p_0\in \gamma}\). Z punktów \(\displaystyle{ x_0\in S}\) startuje rozwiązanie \(\displaystyle{ \gamma(t;x_0)}\), które po pewnym czasie \(\displaystyle{ T(x_0)}\) znowu trafia w S, \(\displaystyle{ \gamma(T(x_0);x_0)\in S.}\) Powstające w ten sposób odwzorowanie \(\displaystyle{ f\colon S \rightarrow S}\) (dyfeomorfizm z odpowiednią dziedziną) \(\displaystyle{ f(x_0)=gamma(T[x_0);x_0)}\) nazywa się przekształceniem powrotu Poincarego.

Piszę e bez akcentu, bo nie widzę nigdzie pod ręką.
Czy zawsze coś takiego istnieje? Prowadzący mówi, że to wynika z ciągłej zależności rozw. od parametru i nie chce powiedzieć nic więcej. Jest w definicji uwaga, że "z odpowiednią dziedziną", ale rozpatrzmy np. takie pole jak na rysunku z odwróconymi strzałkami.

Wtedy dla każdego np. koła S prostopadłego do cyklu granicznego istnieją rozwiązania, które z niego wychodzą i nie istnieje S jak w definicji.
Proszę o komentarz, czy dobrze rozumiem tę definicję? Widzę ideę, ale po prostu nie wygląda to na dobrą definicję. Uprzejmie proszę o wyjaśnienie.

Pozdrawiam

alfalf pisze: Wtedy dla każdego np. koła S prostopadłego do cyklu granicznego istnieją rozwiązania, które z niego wychodzą i nie istnieje S jak w definicji.

Jak \(\displaystyle{ S}\) może nie istnieć, skoro jest dane na starcie? Trochę tutaj mieszasz.

Skoro wybierasz koło (ściślej i lepiej - łuk okręgu) ortogonalne do cyklu granicznego i dynamika jest taka, że cykl graniczny jest przyciągający, to wybór \(\displaystyle{ x\in S}\) da po jednym "obrocie" punkt \(\displaystyle{ f(x)}\) leżący na wybranej transwersali, "bliżej" cyklu granicznego, toteż ja nie widzę tutaj kłopotu.

Prześledź raz jeszcze uważnie definicję.

Czy zawsze coś takiego istnieje? Prowadzący mówi, że to wynika z ciągłej zależności rozw. od parametru i nie chce powiedzieć nic więcej.

Nie musi zawsze istnieć. Wystarczy wziąć na przykład układ rozpraszający na płaszczyźnie, na przykład źródło. Istnienie to sprawa delikatna i ciągła zależność może istotnie tutaj pomóc. W szczególności pewnego rodzaju stabilność jest bodaj konieczna, ale nie chcę skłamać, gdyż odwzorowania Poincare nie są moją mocną stroną.

Nie nie, może faktycznie napisałem mało precyzyjnie. Weźmy dowolne koło prostopadłe do tego koła w danym punkcie, Wtedy np. rozwiązania wychodzące blisko okręgu będącego jego brzegiem, już do niego nie wejdą po jednym obrocie, więc takie S nie istnieje. Cykl graniczny właśnie nie jest przyciągający, rozważamy ukłąd jak na obrazku z odwróconymi strzałkami.

No właśnie na zajęciach wszyscy się tym posługują, jakby nie było z tym problemu i nie wiem czy czegoś nie rozumiem, czy oni.

Pozdrawiam

alfalf pisze:Weźmy dowolne koło prostopadłe do tego koła w danym punkcie

Ja tego zwrotu nie rozumiem. Mówimy o kołach, czy okręgach? I co rozumiesz przez prostopadłość? Chodzi o to, że okręgi przecinają się pod kątem prostym?

alfalf pisze: Cykl graniczny właśnie nie jest przyciągający, rozważamy ukłąd jak na obrazku z odwróconymi strzałkami.

Widocznie przeoczyłem fakt. Skoro cykl jest odpychający, to istotnie nie każdy punkt z "okręgu" po jednym obrocie wleci ponownie do niego.

Zwrócę też uwagę na jeden fakt. Odwzorowania Poincare'go można definiować dwojako.

\(\displaystyle{ f:S\to S}\) jest dyfeomorfizmem.

\(\displaystyle{ f:S\to f(S)}\) jest dyfeomorfizmem, gdzie \(\displaystyle{ f(S)}\) jest zawarty w otwartym otoczeniu \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ p}\)

W obu przypadkach \(\displaystyle{ f(p)=p}\) i \(\displaystyle{ S}\) jest transwersalą zawierającą \(\displaystyle{ p}\).

W tym drugim przypadku można nawet dla odpychającego cyklu zdefiniować odwzorowanie Poincare'go biorąc dostatecznie małe \(\displaystyle{ U}\). Powinienem o tym wspomnieć poprzednio.

Przepraszam, miało być "prostopadłe do okręgu". Ok, druga definicja o wiele bardziej mi się jakoś podoba. Hm, myślę, że temat jest wyczerpany, a moje wątpliwości rozwiane. Dziękuję, Wesołych Świąt