Nierównosci modułowe, spójniki

[Jan Kraszewski]

" ta równoważność jest nieprawdziwa."
Ona pochodzi z waszej strony.
stąd: page.php?p=kompendium-wartosc-bezwzgledna
pod " Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej: "

No to mamy błąd w kompendium, który trzeba poprawić.

JK

[vpprof]

Mam rację, czy nie mam?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x- \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \end{cases}
\wedge \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ -x+ \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \end{cases}}\)

Popatrz na ten układ nierówności. Jeśli połączysz je spójnikiem "i", to dostajesz zdanie: \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2}}\) oraz jednocześnie \(\displaystyle{ x < \frac{3}{2}}\). Przyznasz chyba sam, że to niemożliwe, żeby jakakolwiek liczba (którą podstawiamy za \(\displaystyle{ x}\)) była jednocześnie większa lub równa trzy drugie ORAZ w tym samym momencie mniejsza od trzech drugich. Np. \(\displaystyle{ 5}\) jest tylko większe lub równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), z kolei \(\displaystyle{ -1}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), a nie ma takiej liczby, która spełniałaby obydwa warunki.

Obojętnie czy zapiszesz te nierówności jedna nad drugą, jedna obok drugiej, czy też jedną otoczysz szlaczkiem a drugą kwiatkami. Zawsze muszą być połączone spójnikiem "lub", inaczej wzajemnie się wykluczają. To chyba powinno wyjaśnić kwestię spójników.

[kejkun7]

No to już Miodzio napisał w pierwszym poście

"Obojętnie czy zapiszesz te nierówności jedna nad drugą, jedna obok drugiej, czy też jedną otoczysz szlaczkiem"
jak dwie otoczę klamerką, to wydaję mi się, że wtedy mam spójnik " i " akurat
Ale nie ogarniam czy o taki "szlaczek" Ci chodziło.

Z chęcią zobaczę jeszcze dowód niegeometryczny faktu z tego tematu{zmiany spójników i/lub},
więc bardziej czekałbym na tę odpowiedź.

[vpprof]

Obojętnie czy zapiszesz te nierówności jedna nad drugą, jedna obok drugiej, czy też jedną otoczysz szlaczkiem

jak dwie otoczę klamerką, to wydaję mi się, że wtedy mam spójnik " i " akurat

Po czym to waść wnosisz? Owszem, mogą być połączone "i", jeśli zdania zaczynają się od
\(\displaystyle{ \begin{cases}\text{dla } x \text{ mniejszego od…} \\ \text{dla } x \text{ większego od…} \end{cases}}\)
co w praktyce oznacza: "jeśli \(\displaystyle{ x \le \text{coś}}\), to wtedy coś tam", jeśli większe to coś innego. Wtedy masz dwa zdania z implikacją:
\(\displaystyle{ \begin{cases}p \Rightarrow q \\ \neg p \Rightarrow r\end{cases}}\)
i owszem, te zdania łączysz koniunkcją:
\(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \wedge ( \neg p \Rightarrow r)}\)
Przy czym \(\displaystyle{ p}\) oznacza warunek dla iksów, zaś \(\displaystyle{ q,r}\) to twoje wyrażenia z usuniętym modułem.

Eliminując implikację zapiszemy: \(\displaystyle{ ( \neg p \vee q) \wedge (p \vee r)}\). Zmienna \(\displaystyle{ p}\) może być albo równa \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ 1}\) (albo fałszywa albo prawdziwa). Zatem kiedy jest fałszywa, mamy: \(\displaystyle{ (1 \vee q) \wedge (0 \vee r) = r}\), zaś kiedy jest prawdziwa, mamy: \(\displaystyle{ (0 \vee q) \wedge (1 \vee r) = q}\), czyli całe wyrażenie sprowadza się do \(\displaystyle{ r \vee q}\), czyli do alternatywy wyrażeń połączonych klamerką.

[bakala12]

Mam nadzieję, że nie zostanę zlinczowany za takie sformułowania, ale ktoś mi kiedyś pokazał coś takiego:
Znak nierówności obracamy \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) w prawo. Stąd bierzemy spójnik logiczny jak nie wiemy jaki
Istotnie, na przykład:
\(\displaystyle{ \left| x-4\right|<4 \Leftrightarrow x-4>-4 \wedge x-4<4}\)
\(\displaystyle{ \left| x-3\right| \ge 2 \Leftrightarrow x-3 \le -2 \vee x-3 \ge 2}\)

Oczywiście mimo wszystko, lepiej jest zrozumieć skąd co się bierze

[Jan Kraszewski]

To jest typowy mechaniczny algorytm, służący do zapamiętania bez zrozumienia. Jak po roku zapomnisz, czy to było w prawo czy w lewo, to wybierzesz którąkolwiek wersję i nie poczujesz żadnej różnicy.

JK