Granica ciągu.

[Thuddy]

Czyli granicą jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

[musialmi]

Spójrz do notatek po twierdzenie o arytmetyce granic: \(\displaystyle{ \lim a_n^{b_n}, a_n \to g \in (-1,1), b_n \to \infty}\).

[Thuddy]

Doobra i tak tego nie zrozumiem. Czyli odpowiedź w książce która wynosi \(\displaystyle{ e^{ \frac{3}{2} }}\) jest błędna? Nie da się tego jakoś inaczej rozpisać?

[musialmi]

Jest, albo źle przepisałeś.
PS Jest takie twierdzenie, a może aksjomat: wartość wyrażenia jest taka sama, niezależnie od postaci, w jakiej jest przedstawiona

[Thuddy]

Nie chcę zakładać nowego tematu, żeby nie śmiecić na forum więc na deser taki prosty ciąg:

\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{3}{n} \right) ^{n}}\) Minus wrzucamy do licznika i wychodzi nam \(\displaystyle{ e^{-3}}\) Natomiast odpowiedź jest \(\displaystyle{ e^{ \frac{-1}{3} }}\)
Co robię źle?

[musialmi]

Nic nie robisz źle, autorzy książki robią coś źle. Polecam zrobić do końca poprzedni przykład, bo jest prostszy.

[Thuddy]

Szczerze mówiąc to nie wiem o co chodzi. Jaka powinna być prawidłowa odpowiedź w tym 1 przykładzie o który pytałem? Wtedy ją sobie dopasuje do tych twierdzeń.

[musialmi]

Spójrz do notatek po twierdzenie o arytmetyce granic: \(\displaystyle{ \lim a_n^{b_n}, a_n \to g \in (-1,1), b_n \to \infty}\).

Wstaw sobie za \(\displaystyle{ a_n}\), który ewidentnie jest podstawą potęgi i pasuje za niego wstawić nasze \(\displaystyle{ \frac{n^2+2}{2n^2+1}}\), który dąży do \(\displaystyle{ 1/2}\), jak już zauważyłeś, a za \(\displaystyle{ b_n}\) wstaw \(\displaystyle{ n^2}\).

Ten przykład, który dałeś jako ostatni, rozwiązałeś dobrze - piszę to jeszcze raz, bo zauważyłem, że mój poprzedni post jest trochę dwuznacznie napisany ;p

[Thuddy]

No tak więc \(\displaystyle{ b_{n}}\) dąży do nieskonczoności a \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) Więc granica to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

[musialmi]

Przeczytałeś to twierdzenie? Ja go nie zacytowałem, ja tylko podałem założenia, żebyś wiedział czego masz szukać i dlaczego. Przynajmniej już wiesz dlaczego, to teraz je znajdź ;p

[Thuddy]

Chyba znalazłem w podręczniku, granica tego ciągu wynosi \(\displaystyle{ 0}\) w takim razie, tak?

[Hajtowy]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} }}\) Dzielimy przez \(\displaystyle{ n^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)}\)

[yorgin]

Chyba znalazłem w podręczniku, granica tego ciągu wynosi \(\displaystyle{ 0}\) w takim razie, tak?

Tak.

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} }}\) Dzielimy przez \(\displaystyle{ n^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)}\)

Coś Ty zrobił z wykładnikiem?

[zanrill]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left(\frac{n^2+2}{2n^2+1}\right) ^{n^2}= \lim_{ n\to \infty }\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{n^2+2}{n^2+ \frac{1}{2} }\right)^{n^2}=\lim_{ n\to \infty }\left( \frac{1}{2} \right)^{n^2} \cdot \lim_{ n\to \infty }\left(\left(1+\frac{ \frac{3}{2}}{n^2+ \frac{1}{2} }\right)^{n^2+ \frac{1}{2} }\right)^{ \frac{n^2}{n^2+ \frac{1}{2} } } = 0 \cdot \epsilon^{ \frac{3}{2} }=0}\)

Rzeczywiście

[musialmi]

Zapomniałeś pomnożyć przez zero Piękny błąd w moim stylu.