Granica ciągu.

[Thuddy]

Mam problem z obliczeniem granicy następującego ciągu:

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} }}\)

Po przekształceniu wychodzi:

\(\displaystyle{ \left[ \left( 1+ \frac{2}{2 n^{2}+1 } \right) ^{2 n^{2}+1 } \right] ^{ \frac{ n^{2} }{2 n^{2} +1} }}\)

Wyrażenie w nawiasie dąży do \(\displaystyle{ e^{2}}\), a to poza nim do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Więc całość dąży do \(\displaystyle{ e^{1}}\) a odpowiedź jest \(\displaystyle{ e^{ \frac{3}{2} }}\)
Gdzie zrobiłem błąd?

[musialmi]

Pokaż mi jak doszedłeś z \(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right)}\) do \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2}{2 n^{2}+1 } \right)}\).

[Thuddy]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 + 1 -1 + n^{2} - n^{2} }{2 n^{2}+1 } \right)}\) i jakoś wyszło.

[musialmi]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 + 1 -1 + n^{2} - n^{2} }{2 n^{2}+1 } \right)}\) i jakoś wyszło.

\(\displaystyle{ =\frac{ 2n^{2} + 1 +1 - n^{2} }{2 n^{2}+1 }}\), no ale co dalej?

[Thuddy]

Dobra poddaje się, gdzieś tutaj własnie zrobiłem błąd. Nie wiem jak to rozpisać.

[musialmi]

To ja ci zaproponuję inną metodę.

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} }}\)

Weź po prostu w ułamku podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\) i gotowe.

[Thuddy]

Wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{ n^{2} }}\) I co dalej?

[musialmi]

Nie do końca tyle ci wychodzi (nie można być i nie być w granicy jednocześnie - albo mamy symbol \(\displaystyle{ \lim}\) i piszemy wszystko ze zmienną, albo pomijamy ten symbol i podajemy liczbę - rozwiązanie).
W każdym razie, musisz zastosować twierdzenie o artymetyce granic: \(\displaystyle{ a^ \infty, -1<a<1, a}\) jest granicą ciągu.

[Thuddy]

Sytuacja skomplikowała się. Nie rozumiem tego. Mógłbyś to rozpisać tak jak trzeba, a ja bym sobie to już sam ogarnął? To jest zadanie ze wzorem na stałą Eulera, więc musi być \(\displaystyle{ 1+}\) coś dalej. Problem jest żeby to tak rozpisać.

[musialmi]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} }}\)

Weź po prostu w ułamku podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\) i gotowe.

\(\displaystyle{ =\left( \frac{ 1+\frac{2}{n^2} }{2+\frac{1}{n^2} } \right) ^{ n^{2} }}\)
Do czego zbiega podstawa tej potęgi? A wykładnik?

To jest zadanie ze wzorem na stałą Eulera, więc musi być \(\displaystyle{ 1+}\) coś dalej. Problem jest żeby to tak rozpisać.

Liczba \(\displaystyle{ e}\) tu się w ogóle nie przyda.

[Thuddy]

Wykładnik do do\(\displaystyle{ 2}\) a podstawa do nieskonczonosci, tak?

[musialmi]

W \(\displaystyle{ a^b}\) podstawą jest \(\displaystyle{ a}\), a wykładnikiem \(\displaystyle{ b}\), spróbuj jeszcze raz

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right \rightarrow \frac{1}{2}}\), więc niemal w prost z definicji granicy istnieje takie \(\displaystyle{ n _{0}}\), że dla \(\displaystyle{ n> n_{0}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } < \frac{2}{3}}\), a wówczas \(\displaystyle{ \left( \frac{ n^{2}+2 }{2 n^{2}+1 } \right) ^{ n^{2} } \le \left(\frac{2}{3} \right)^{n^{2}}\)

[Thuddy]

Podstawa dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a wykładnik do nieskonczonosci, tak?

[musialmi]

No tak. No to obczaj to twierdzenie, które zacytowałem ostatnio i już wiesz do czego zbiega cały rozpatrywany ciąg