Całka z x^x dx

[abc666]

A ta rekurencja względem czego by miała być ?

[osa750]

Tzn. chyba się przejęzyczyłem Chodziło mi o to, żeby całkę z tego wyrazić za pomocą pewnej sumy. Doszedłem, nie wiem czy dobrze, do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \int x^x dx= \int \sum_{i=0}^{n} \frac{x^n*(lnx)^n}{n!} dx}\)

Próbując całkować kolejne elementy (za pomocą wolframalpha, gdyż liczenie tych całek jest potem trochę paskudne), wychodzą one następujące:

\(\displaystyle{ x +}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^2(2lnx-1) +}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2!} \frac{1}{27}x^3(9(lnx)^2-6lnx+2) +}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3!} \frac{1}{256}x^4(64(lnx)^3-46(lnx)^2+24lnx-6) +}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4!} \frac{1}{3125}x^5(625(lnx)^4-500(lnx)^3 +300(lnx)^2 - 120lnx +24)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{5!} \frac{1}{46656}x^6(7776(lnx)^5-6480(lnx)^4+4320(lnx)^3-2160(lnx)^2+720lnx-120)+...}\)

Edit: jednak postanowiłem "na siłę" zrobić przed każdym czynnikiem \(\displaystyle{ \frac{1}{n^n}}\) a potem wciągnąć w nawiasy to co zbywa. Jak widać ostatnie wyrazy to są kolejno \(\displaystyle{ 1! 2! 3! itp...}\) - ale dalej nie mam pomysłu

Widzi ktoś jak to zapisać w postaci sumy? Najbardziej chodzi o ten nawias - bo tam jest pies pogrzebany...

-- 20 cze 2010, o 21:22 --

Ma ktoś dalej pomysł jak to ruszyć? Widać, że w każdym nawiasie współczynniki przy dwóch ostatnich czynnikach to są silnie kolejnych liczb naturalnych. Pierwsze czynniki no to logarytm do odpowiedniej potęgi razy To mamy już dwa czynniki z głowy. A reszta to nie wiem...

Widzi ktoś jakąś zależność między tymi nawiasami? Bo tutaj myślę, że da się wynik całki zapisać jako sumę n elementów przy n dążącym do nieskończoności. Będzie to na pewno:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n}{n! n^n} ...}\)
Dalej nie wiem co zapisać. Można by dwa ostatnie elementy powyciągać i byłoby to jeszcze:
\(\displaystyle{ ... + \sum_{i=1}^{n \rightarrow \infty } (n+1)!lnx \mp n!}\)
Chociaż to i tak dalej nic nie daje, bo zostaje nam poza tymi dwoma czynnikami nieskończenie wiele pozostałych ^^

Wie ktoś jak to dalej ugryźć?

-- 20 cze 2010, o 21:46 --

Aha i oczywiście jak ktoś zauważy jakieś błędy, to proszę od razu dawać znać! Będę wdzięczny!
I jeszcze jedno - gdzie się podział przycisk "edytuj"? xD

-- 22 cze 2010, o 21:27 --

Przedstawiam dalszy ciąg mojej pracy:

Jak łatwo zauważyć - dwa ostatnie elementy w nawiasach (stała i logarytm naturalny w pierwszej potędze) mają współczynniki równe silniom kolejnych liczb naturalnych. Z tym, że znaki idą na przemian. Postanowiłem więc wymnożyć przez to co przed nawiasem dwa ostatnie czynniki i wyciągnać przed sumę.

Czyli jeszcze raz, po kolei:
\(\displaystyle{ int x^x dx = int sum_{i=0}^{n
ightarrow infty } frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx \(\displaystyle{

całkując kilka kolejnych elementów tej sumy, wychodzą wyniki takie jak kilka linijek wyżej (te nawiasy paskudne). Można zauważyć czynnik \(\displaystyle{ frac{x^n}{n^nn!} przed każdym nawiasem. Wymnożę przez to 2 ostatnie elementy, przez co otrzymamy:
int x^x dx = int sum_{i=0}^{n
ightarrow infty } frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx=
x + sum_{i=2}^{n
ightarrow infty } frac{x^n}{n^nn!}((-1)^nn!lnx + (n-1)!(-1)^(n+1)) + ...\(\displaystyle{ \frac{1}{2!} \frac{1}{3^3}x^33^2(lnx)^2 +
\frac{1}{3!} \frac{1}{4^4}x^4(4^3(lnx)^3 - 46(lnx)^2) +
\frac{1}{4!} \frac{1}{5^5}x^5(5^4(lnx)^4 - 500(lnx)^3 + 300(lnx)^2) +
\frac{1}{5!} \frac{1}{6^5}x^6(6^5(lnx)^5 - 6480(lnx)^4 + 4320(lnx)^3 - 2160(lnx)^2) ...}\)

Pozwoliłem sobie niektóre współczynniki zapisać w postaci potęg - może coś się w końcu rozjaśni.
Czy ktoś widzi zależność teraz? Bo ja dalej nie widzę.

/// (-1) do potęgi jakiejś, bo znaki idą na przemian wraz ze zmianą potęgi ///

-- 22 cze 2010, o 21:30 --

Przedstawiam dalszy ciąg mojej pracy:

Jak łatwo zauważyć - dwa ostatnie elementy w nawiasach (stała i logarytm naturalny w pierwszej potędze) mają współczynniki równe silniom kolejnych liczb naturalnych. Z tym, że znaki idą na przemian. Postanowiłem więc wymnożyć przez to co przed nawiasem dwa ostatnie czynniki i wyciągnać przed sumę.

Czyli jeszcze raz, po kolei:
\(\displaystyle{ \int x^x dx = \int \sum_{i=0}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx}\)

całkując kilka kolejnych elementów tej sumy, wychodzą wyniki takie jak kilka linijek wyżej (te nawiasy paskudne). Można zauważyć czynnik \(\displaystyle{ \frac{x^n}{n^nn!}}\)przed każdym nawiasem. Wymnożę przez to 2 ostatnie elementy, przez co otrzymamy:
\(\displaystyle{ \int x^x dx = \int \sum_{i=0}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx=
x + \sum_{i=2}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n}{n^nn!}((-1)^nn!lnx + (n-1)!(-1)^(n+1)) +...}\)
/// (-1) do potęgi jakiejś, bo znaki idą na przemian wraz ze zmianą potęgi ///
\(\displaystyle{ \frac{1}{2!} \frac{1}{3^3}x^33^2(lnx)^2 +
\frac{1}{3!} \frac{1}{4^4}x^4(4^3(lnx)^3 - 46(lnx)^2) +
\frac{1}{4!} \frac{1}{5^5}x^5(5^4(lnx)^4 - 500(lnx)^3 + 300(lnx)^2) +
\frac{1}{5!} \frac{1}{6^5}x^6(6^5(lnx)^5 - 6480(lnx)^4 + 4320(lnx)^3 - 2160(lnx)^2) ...}\)

Pozwoliłem sobie niektóre współczynniki zapisać w postaci potęg - może coś się w końcu rozjaśni.
Czy ktoś widzi zależność teraz? Bo ja dalej nie widzę.

-- 22 cze 2010, o 21:31 --

Przedstawiam dalszy ciąg mojej pracy:

Jak łatwo zauważyć - dwa ostatnie elementy w nawiasach (stała i logarytm naturalny w pierwszej potędze) mają współczynniki równe silniom kolejnych liczb naturalnych. Z tym, że znaki idą na przemian. Postanowiłem więc wymnożyć przez to co przed nawiasem dwa ostatnie czynniki i wyciągnać przed sumę.

Czyli jeszcze raz, po kolei:
\(\displaystyle{ \int x^x dx = \int \sum_{i=0}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx}\)

całkując kilka kolejnych elementów tej sumy, wychodzą wyniki takie jak kilka linijek wyżej (te nawiasy paskudne). Można zauważyć czynnik \(\displaystyle{ \frac{x^n}{n^nn!}}\)przed każdym nawiasem. Wymnożę przez to 2 ostatnie elementy, przez co otrzymamy:


\(\displaystyle{ \int x^x dx=\int \sum_{i=0}^{n \rightarrow \infty}\frac{x^n(lnx)^n}{n!} dx=
x + \sum_{i=2}^{n \rightarrow \infty } \frac{x^n}{n^nn!}((-1)^nn!lnx + (n-1)!(-1)^[n+1]) +...}\)
/// (-1) do potęgi jakiejś, bo znaki idą na przemian wraz ze zmianą potęgi ///
\(\displaystyle{ \frac{1}{2!} \frac{1}{3^3}x^33^2(lnx)^2 +
\frac{1}{3!} \frac{1}{4^4}x^4(4^3(lnx)^3 - 46(lnx)^2) +
\frac{1}{4!} \frac{1}{5^5}x^5(5^4(lnx)^4 - 500(lnx)^3 + 300(lnx)^2) +
\frac{1}{5!} \frac{1}{6^5}x^6(6^5(lnx)^5 - 6480(lnx)^4 + 4320(lnx)^3 - 2160(lnx)^2) ...}\)

Pozwoliłem sobie niektóre współczynniki zapisać w postaci potęg - może coś się w końcu rozjaśni.
Czy ktoś widzi zależność teraz? Bo ja dalej nie widzę.-- 22 cze 2010, o 21:33 --}\)}\)}\)

[rmcs]

\(\displaystyle{ \int x^{x}}\)
Intrygowała mnie od 1997 roku nadal donie powracam.
Zamian funkcji na szereg i całkowanie wyraz po wyrazie również mnie nie zadowala.
Nie widziałem nigdzie dowodu ze funkcja ta nie jest całkowalna (całkowanie przez rozwinięcia szeregu jest metodą przybliżoną)
Jeżeli ktoś znalazł tą całkę chętnie zobaczę wynik.
Może czyjaś praca na temat całkowalności tej funkcji?
Pomogę również przy próbie znalezienia funkcji której sumą jest szereg po scałkowaniu.
Moim zdaniem funkcja jest warta badania.

[a4karo]

Ta funkcja oczywiście jest całkowalna (podobnie jak każda funkcja ciągła.
To, że nie da sie przedstawić w postaci funkcji elementarnych jest chyba dośc trudnym zagadnieniem i pewnie ta wiedza mało wnosi do matematyki. Oczywiście możesz sobie zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ P(x)=\int_1^x t^t dt}\) i używać jej podobnie jak używa się całek eliptycznych czy innych funkcji nieelementarnych.

[Mogget]

To Cię może zainteresować:


Chyba nikt nie wspomniał że funkcja jest związana z bardzo ładną zależnością (Sophomore's Dream)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{x}\mbox{d}x=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}}\)

Edit:
Nie zauważyłem że temat z 2010. Anyway, jeśli ktoś znalazł w międzyczasie coś o całce nieoznaczonej to może podlinkować.