Całka z x^x dx

osa750 · Post autor: **osa750** » 14 cze 2010, o 12:42

Mam pytanie - nie znalazłem bowiem nigdzie rozwiązania takiej oto całki (oczywiście chodzi mi o nieoznaczoną), która bardzo mnie intryguje:

\(\displaystyle{ \int{x^x} dx}\)

Swoją drogą funkcja ta ma bardzo ciekawy przebieg (tu odsyłam do wolfamalpha.com - wystarczy wstukać "x^x")

Wstukuję na i wyskakuje, że nie nie da się tej całki określić standardowymi funkcjami matematycznymi (chyba chodzi tu o elementarne funkcje). I stąd pytanie - czy da się to policzyć? Czy całka z tej funkcji w ogóle istnieje (bo czytałem, że nie wszystkie funkcje są całkowalne)?

Nie chodzi mi w tym momencie by koniecznie ktoś to rozwiązał (chociaż nie ukrywam - byłoby fajnie ^^) ale jak już, to prosiłbym o wskazanie źródła gdzie szukać wiedzy na ten temat. Wpadła mi ta funkcja w głowę (czy też w oko - tłumaczcie to jak chcecie xD) i spokoju mi nie daje.

Z góry proszę wybaczyć, jeżeli przeoczyłem jakiś temat gdzie to jest, ale przy próbie wyszukania czegokolwiek przy użyciu ów hasła - wyskakuje kilkaset lub kilka tysięcy wyników. A trochę nie widzi mi się przeglądanie wszystkiego

Dziękuję za wszelką pomoc.

melmi · Post autor: **melmi** » 14 cze 2010, o 13:01

Może tak być że jest to funkcja niecałkowalna podobnie jak \(\displaystyle{ e^{-x^{2} }}\), czyli tak jak napisałeś niemożliwa do przedstawienia w postaci funkcji elementarnych.

osa750 · Post autor: **osa750** » 14 cze 2010, o 13:07

Z tym, że \(\displaystyle{ e^{-x^{2}}}\) da się policzyć z własności całek podwójnych (ale to prawda - nie da się jej przedstawić w postaci funkcji elementarnych). Jest to policzone w krysickim (cz.2). Ale tamta funkcja mnie zaintrygowała - bo nie wiem nawet czy jest całkowalna! xD

Ein · Post autor: **Ein** » 14 cze 2010, o 13:16

melmi pisze:Może tak być że jest to funkcja niecałkowalna podobnie jak \(\displaystyle{ e^{-x^{2} }}\), czyli tak jak napisałeś niemożliwa do przedstawienia w postaci funkcji elementarnych.

Jak to jest niecałkowalna? To, że nie istnieje reprezentacja funkcjami elementarnymi, to nie znaczy, że funkcja jest niecałkowalna. Co więcej wynik jest całkiem ładny i zaskakujący:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)dx=\sqrt{2\pi}}\).

Tylko i wyłącznie od nas zależy, co jest a co nie jest elementarne. Np. możemy stwierdzić, że logarytm naturalny też nie jest elementarny, bo np. zachodzi:

\(\displaystyle{ \ln{x}=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt}\).

Zatem możemy np. powiedzieć, że funkcja \(\displaystyle{ \mbox{erf}(x)=\int_0^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt}\) jest elementarna. (Aczkolwiek zwyczajowo zakłada się, że nie jest.)

osa750 · Post autor: **osa750** » 14 cze 2010, o 13:19

Bardzo fajnie! Ale mnie interesuje ów nieszczęsna \(\displaystyle{ \int{x^x}dx}\) xD Bo już skrętu kiszek dostaję od niewiedzy!

Ein · Post autor: **Ein** » 14 cze 2010, o 13:23

Jest \(\displaystyle{ x^x=\exp(x\ln x)}\), czyli otrzymujemy podobny problem do całki z \(\displaystyle{ \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}\). Z tym że całka z \(\displaystyle{ x^x}\) na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+}}\) (na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{-}}\) funkcja \(\displaystyle{ x^x}\) nie jest w ogóle określona) nie istnieje, bo \(\displaystyle{ x^x\to\infty}\) gdy \(\displaystyle{ x\to\infty}\).

osa750 · Post autor: **osa750** » 14 cze 2010, o 13:33

Czyli co? Obstawiacie, że nie da się policzyć? Ech, szkoda... a takie nadzieje miałem Jeszcze pójdę na konsultacje do mojego prowadzącego od matmy, może coś poradzi

Ein · Post autor: **Ein** » 14 cze 2010, o 21:27

Nie że się nie da, tylko po prostu nie przedstawisz całki nieoznaczonej \(\displaystyle{ \int x^xdx}\) za pomocą funkcji pierwotnej składającej się z funkcji elementarnych (wielomiany, trygonometryczne, eksponens etc.).

Funkcja \(\displaystyle{ x^x}\) na przedziale ograniczonym jest oczywiście całkowalna, tzn. istnieje \(\displaystyle{ \int_a^b x^xdx}\) i jest liczbą rzeczywistą.

osa750 · Post autor: **osa750** » 14 cze 2010, o 21:47

Ok, powtarzam po raz wtóry - tyle, że się nie da przedstawić elementarnymi to i ja wiem - dzięki wolframalpha.

Z tym, że jak nie da się przedstawić tak, to przedstawia za pomocą funkcji nieelementarnych A tu wyskakuje, że się nie da i nic więcej...

I tu się odzywa moja natura - nic nie lubię przyjmować "na wiarę" - wolę się powołać na jakieś twierdzenie czy też dowód że ów całka istnieje bądź nie. Zna ktoś taki(e)? Albo przynajmniej gdzie może on(o) być? To sobie doczytam chętnie

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 cze 2010, o 23:04

Ein, W postaci skończonej liczby funkcji elementarnych

Funkcję podcałkową prawdopodobnie da się rozwinąć w szereg

osa750 · Post autor: **osa750** » 19 cze 2010, o 16:01

Coś czuję, że jednak nici z moich poszukiwań... cóż. Może jednak ktoś da radę pomóc? Byłbym wdzięczny

Post autor: **M Ciesielski** » 19 cze 2010, o 16:22

Już było mówione. Rozwiń to w szereg jakimś programem i potem całkuj. Matmematica rozwija tak:

Kod: Zaznacz cały

 In[1]:= Series[x^x, {x, 0, 10}]

Kod: Zaznacz cały

 Out[1]:= 1+Log[x] x+1/2 Log[x]^2 x^2+1/6 Log[x]^3 x^3+1/24 Log[x]^4 x^4+1/120 Log[x]^5 x^5+1/720 Log[x]^6 x^6+(Log[x]^7 x^7)/5040+(Log[x]^8 x^8)/40320+(Log[x]^9 x^9)/362880+(Log[x]^10 x^10)/3628800+O[x]^11

Kod: Zaznacz cały

In[2]:= Integrate[%, x]

Kod: Zaznacz cały

Out[2]:= x+(-1/4+Log[x]/2) x^2+1/54 (2-6 Log[x]+9 Log[x]^2) x^3+1/768 (-3+12 Log[x]-24 Log[x]^2+32 Log[x]^3) x^4+((24-120 Log[x]+300 Log[x]^2-500 Log[x]^3+625 Log[x]^4) x^5)/75000+((-5+30 Log[x]-90 Log[x]^2+180 Log[x]^3-270 Log[x]^4+324 Log[x]^5) x^6)/233280+((720-5040 Log[x]+17640 Log[x]^2-41160 Log[x]^3+72030 Log[x]^4-100842 Log[x]^5+117649 Log[x]^6) x^7)/592950960+((-315+2520 Log[x]-10080 Log[x]^2+26880 Log[x]^3-53760 Log[x]^4+86016 Log[x]^5-114688 Log[x]^6+131072 Log[x]^7) x^8)/5284823040+((4480-40320 Log[x]+181440 Log[x]^2-544320 Log[x]^3+1224720 Log[x]^4-2204496 Log[x]^5+3306744 Log[x]^6-4251528 Log[x]^7+4782969 Log[x]^8) x^9)/1735643790720+((-567+5670 Log[x]-28350 Log[x]^2+94500 Log[x]^3-236250 Log[x]^4+472500 Log[x]^5-787500 Log[x]^6+1125000 Log[x]^7-1406250 Log[x]^8+1562500 Log[x]^9) x^10)/5670000000000+(1/285311670611-Log[x]/25937424601+Log[x]^2/4715895382-Log[x]^3/1286153286+Log[x]^4/467692104-Log[x]^5/212587320+Log[x]^6/115956720-Log[x]^7/73790640+Log[x]^8/53665920-Log[x]^9/43908480+Log[x]^10/39916800) x^11+O[x]^12

Czy taki wynik Cię zadowala?

osa750 · Post autor: **osa750** » 19 cze 2010, o 17:15

Hmmm... wygląda trochę paskudnie xD Ale to było do przewidzenia, że całka tej postaci będzie paskudna, co nie?

Post autor: **M Ciesielski** » 19 cze 2010, o 18:36

No, to nie jest dokładny wynik. Bo jak ktoś już wcześniej pisał, skończoną liczbą funkcji elementarnych wyniku nie wyrazisz.

osa750 · Post autor: **osa750** » 19 cze 2010, o 19:42

No ale można to jakimś wzorem rekurencyjnym wyrazić