Obliczyć granicę ciągu

[Mathix]

Dasio11,
\(\displaystyle{ \frac{1}{\underbrace{\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \ldots \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}}_{n}}=\frac{1}{\underbrace{e \cdot e \cdot e \cdot \ldots \cdot e}_{n}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} e^n} = 0}\)

Nie można tak?

[virtue]

Jan Kraszewski
Zawsze można utworzyć funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2\ln \frac{x-1}{x}}\) \(\displaystyle{ , Df:x \in R>1}\)
i obliczyć jej granice de l'Hospitalem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }x^2\ln \frac{x-1}{x}}\)

[Lider_M]

A wystarczyłoby napisać:

\(\displaystyle{ \left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right]^n}\), przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) otrzymujemy symbol \(\displaystyle{ [e^{-1}]^{\infty}=0}\).

[a4karo]

Zawsze wydawało mi się, że do szpitala (ang. hospital) wysyła się funkcje zmiennej rzeczywistej, a nie ciągi...

JK

Tak dla jasności de l'Hospital był Francuzem, nie Anglikiem .

[klaustrofob]

A wystarczyłoby napisać:

\(\displaystyle{ \left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right]^n}\), przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) otrzymujemy symbol \(\displaystyle{ [e^{-1}]^{\infty}=0}\).

no nie wiem. to by chyba trzeba jakiś rachunek symboli opracować, abo co? coś za bardzo magicznie, jak na mój gust

[Jan Kraszewski]

Tak dla jasności de l'Hospital był Francuzem, nie Anglikiem .

Rzecz jasna i dlatego śmieszy mnie robienie z niego "hospitala".

Jan Kraszewski
Zawsze można utworzyć funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2\ln \frac{x-1}{x}}\) \(\displaystyle{ , Df:x \in R>1}\)
i obliczyć jej granice de l'Hospitalem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }x^2\ln \frac{x-1}{x}}\)

Wiem, ale na tym właśnie polega staranność w matematyce, by na takie rzeczy zwracać uwagę.

A wystarczyłoby napisać:

\(\displaystyle{ \left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right]^n}\), przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) otrzymujemy symbol \(\displaystyle{ [e^{-1}]^{\infty}=0}\).

Powtórzę to, co wcześniej: możesz przytoczyć twierdzenie, którego używasz?

JK

[Kartezjusz]

Może powiem coś głupiego,ale mi to pachnie tw. Weierstrassa, bo gdyby rozważyć ciąg funkcyjny
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{x} \right) ^{nx}}\) i zauważyli, że ta funkcja jest ciągła w w swojej dziedzinie, to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) dąży do funkcji ciągłej, czyli granice przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\) oraz \(\displaystyle{ n \to \infty}\) możemy stosować zamiennie.

[a4karo]

Straaasznie kombinujecie: z faktu, że \(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^n\to 1/e}\) wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ 0<\left(1-\frac{1}{n}\right)^n<1/2}\), a zatem
\(\displaystyle{ 0<\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)^n<\frac{1}{2^n}\to 0}\)

To jest m.in. to twierdzenie, o które dopomina sie JK

[Dasio11]

Dasio11,
\(\displaystyle{ \frac{1}{\underbrace{\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \ldots \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}}_{n}}=\frac{1}{\underbrace{e \cdot e \cdot e \cdot \ldots \cdot e}_{n}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} e^n} = 0}\)

Nie można tak?

Raczej nie. \(\displaystyle{ n}\) nie jest globalnie ustaloną liczbą, tylko zmienną pod granicą. Dlatego nie może wystąpić nigdzie indziej niż pod granicą, a w szczególności liczba czynników w ułamku nie może wynosić \(\displaystyle{ n}\) (bo ułamek nie stoi pod granicą).
To, co napisałem, nie ma szczególnie matematycznego sensu, ale po ludzku tak właśnie wygląda jedna z reguł, wg której trzeba postępować.

[a4karo]

Dasio11,
\(\displaystyle{ \frac{1}{\underbrace{\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \ldots \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}}_{n}}=\frac{1}{\underbrace{e \cdot e \cdot e \cdot \ldots \cdot e}_{n}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} e^n} = 0}\)

Nie można tak?

Raczej nie. \(\displaystyle{ n}\) nie jest globalnie ustaloną liczbą, tylko zmienną pod granicą. Dlatego nie może wystąpić nigdzie indziej niż pod granicą, a w szczególności liczba czynników w ułamku nie może wynosić \(\displaystyle{ n}\) (bo ułamek nie stoi pod granicą).
To, co napisałem, nie ma szczególnie matematycznego sensu, ale po ludzku tak właśnie wygląda jedna z reguł, wg której trzeba postępować.

ZObacz, dlaczego tak nie można:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\underbrace{\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right) \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)\cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)\cdot \ldots \cdot \lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)}_{n}}=\frac{1}{\underbrace{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{n}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} 1^n} = 1}\)

[Dasio11]

Powodem, dlaczego tak nie można, jest raczej brak solidnego uzasadnienia niż istnienie "podobnego" przykładu, który daje zły wynik. Ale fakt, że analiza tego przykładu może pomóc w zrozumieniu niuansu, o którym dyskutujemy.