dowod ze niestnieje liczba kardynalna mniejsza niz alef zero

[klaustrofob]

pozwolę sobie pociągnąć ten wątek nieco off-topikowo: czy dobrze rozumiem, że problem ten zależy od przyjęcia lub nie jakiegoś aksjomatu? i być może sama ZFC tu nie wystarcza (w znaczeniu - ten dodatkowy aksjomat dotyczy liczb kardynalnych)?

[znikam]

ehhh ciemno to widzę, za mało umie
intuicja mi podpowiada ze jeśli stworzylibyśmy układ aksjomatów na mocy którego można wygenerować zbiór nieskończony o mocy mniejszej niż alef zero to hipoteza continuum okazała by się fałszywa

[Althorion]

pozwolę sobie pociągnąć ten wątek nieco off-topikowo: czy dobrze rozumiem, że problem ten zależy od przyjęcia lub nie jakiegoś aksjomatu?

W ogólności: każdy problem zależy od przyjęcia bądź nie jakiegoś aksjomatu, bowiem to one decydują o kształcie modeli, których ten problem dotyczy.

intuicja mi podpowiada ze jeśli stworzylibyśmy układ aksjomatów na mocy którego można wygenerować zbiór nieskończony o mocy mniejszej niż alef zero to hipoteza continuum okazała by się fałszywa

\(\displaystyle{ \aleph_0}\) jest definiowany jako najmniejsza nieskończona liczba kardynalna, więc gdyby w jakiejś teorii zbiorów dało się wykazać istnienie liczby kardynalnej mniejszej od najmniejszej, to taka teoria byłaby sprzeczna.

[Jan Kraszewski]

i być może sama ZFC tu nie wystarcza (w znaczeniu - ten dodatkowy aksjomat dotyczy liczb kardynalnych)?

Ten problem jest niezależny od ZFC. Są modele ZFC, w których jest to prawdą, są modele, w których jest to fałszem.

JK

[klaustrofob]

i być może sama ZFC tu nie wystarcza (w znaczeniu - ten dodatkowy aksjomat dotyczy liczb kardynalnych)?

Ten problem jest niezależny od ZFC. Są modele ZFC, w których jest to prawdą, są modele, w których jest to fałszem.
JK

O! Dziękuję za rozjaśnienie!

[rogal4]

zakładam istnienie zbioru nieskończonego o mocy mniejszej niż alef zero

liczba wszystkich podzbiorów tego zbioru ma moc pośrednią pomiędzy alef zero a c

Niekoniecznie. Jeśli istnieje zbiór \(\displaystyle{ L_{1}}\), taki że
\(\displaystyle{ |L_{1}|<|N|}\),
to wynika stąd tylko, że
\(\displaystyle{ 2^{|L_{1}|}<2^{|N|}=c.}\)

Jeśli w szczególności zachodziłoby
\(\displaystyle{ 2^{|L_{1}|}=|N|}\),
oraz istniałby zbiór \(\displaystyle{ L_{2}}\), taki że
\(\displaystyle{ 2^{|L_{2}|}=|L_{1}|}\),
to byłoby
\(\displaystyle{ 2^{|L_{2}|}<N}\)

(a nie, jak sugerujesz, "moc pośrednia").

[Jan Kraszewski]

Niekoniecznie. Jeśli istnieje zbiór \(\displaystyle{ L_{1}}\), taki że
\(\displaystyle{ |L_{1}|<|N|}\),
to wynika stąd tylko, że
\(\displaystyle{ 2^{|L_{1}|}<2^{|N|}=c.}\)

A dlaczego wynika to według Ciebie?

JK

[rogal4]

A dlaczego wynika (..)?

Powinien być pewnie znak nieostrej nierówności (przy zbiorach potęgowych).

[Przypuszczam jednak, że autor wątku rozważa zbiory istotnie mniej liczne od N - na tyle mniejsze, że moce ich zbiorów potęgowych byłyby ostro mniejsze od c.]

[Jan Kraszewski]

Powinien być pewnie znak nieostrej nierówności (przy zbiorach potęgowych).

Tak.

[Przypuszczam jednak, że autor wątku rozważa zbiory istotnie mniej liczne od N ]

A jaka jest definicja zbioru istotnie mniej licznego?

JK

[rogal4]

A jaka jest definicja zbioru istotnie mniej licznego?

Zbiór \(\displaystyle{ X}\) (nieskończony) byłby istotnie mniej liczny od zbioru \(\displaystyle{ Y}\) wtedy, gdy
\(\displaystyle{ 2^{|X|} \le |Y|.}\)

[Odpowiedź na pytanie czy tylko wtedy zależałaby od rozstrzygnięcia uogólnionej (także "do tyłu")) hipotezy continuum.]

[rogal4]

_________________
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \aleph_0} 2^n = \mathfrak c}\)

A jeśli byłoby:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \mathfrak l} 2^n = \aleph_0}\),

to jakie będzie \(\displaystyle{ \mathfrak l}\)?

[Dasio11]

No \(\displaystyle{ \log_2 \aleph_0.}\) Ogólnie tak będzie, bo \(\displaystyle{ 2^{*}}\) jest funkcją ciągłą.

[rogal4]

\(\displaystyle{ \log _2 \aleph_0.}\)

To więcej niż skończenie wiele i mniej od \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

Pewnie można też napisać, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \aleph_0} \log _2 n < \aleph_0}\).

Teraz tylko wskazać w ciągu liczb naturalnych takie, których jest ok. \(\displaystyle{ \log _2 n}\) wśród n początkowych, a uzyskamy zbiór nieskończony mocy mniejszej od \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

P.S.
Jeszcze przed kilku laty samo sformułowanie "logarytm z continuum" lub "logarytm z \(\displaystyle{ \aleph_0}\)" zostałoby uznane za herezję. Jak jest dziś?

[Dasio11]

Trollowałem.
Nie ma niczego takiego, jak logarytm z liczby kardynalnej, i nie ma niczego takiego, jak granica przy \(\displaystyle{ n \to \aleph_0}\) z czegokolwiek. Takich obiektów nikt nie zdefiniował, bo to najwyraźniej nie występuje w naturze. Mój podpis jest formą żartu i również nie ma formalnego sensu.
Wszystkich, którzy się na to nabrali, przepraszam.

[Jan Kraszewski]

Nie ma niczego takiego, jak logarytm z liczby kardynalnej,

Tu nie do końca masz rację - jest coś takiego (przynajmniej ja widziałem), ale nie jest powszechnie używane (bo zgodnie z brzytwą Ockhama nie ma specjalnie racji bytu):

\(\displaystyle{ \log\kappa=\min\{\lambda: 2^\lambda\ge \kappa\}.}\)

JK