Matematyka.pl

czy można udowodnić że nie istnieje liczba kardynalna mniejsza niż alef zero poprzez:

założenie że istnieje taka liczba

utworzenie nieskończonych ciągów znaków o liczbie elementów równych tej liczbie

udowodnieniu że moc zbioru wszystkich takich ciągów jest pośrednia pomiędzy alef zero a c, co nie jest możliwe na gruncie aksjomatyki ZFC

otrzymana sprzeczność dowodzi że nie istnieje taka liczba

Tutaj chodzi o "hipotezę continuum" , ale w tył. że nie znajdziemy liczby nieskończonej mniejszej niż \(\displaystyle{ \aleph _{0}}\)

znikam pisze:czy można udowodnić że nie istnieje liczba kardynalna mniejsza niż alef zero

Ale to jest nieprawda - jest ich całkiem sporo. Nie ma natomiast żadnej nieskończonej.

znikam pisze:utworzenie nieskończonych ciągów znaków o liczbie elementów równych tej liczbie

Co to są "ciągi znaków"? Co to jest "element ciągu znaków"?

znikam pisze:udowodnieniu że moc zbioru wszystkich takich ciągów jest pośrednia pomiędzy alef zero a c,

Ale to jest nieprawda.

Kartezjusz pisze:Tutaj chodzi o "hipotezę continuum" , ale w tył. że nie znajdziemy liczby nieskończonej mniejszej niż \(\displaystyle{ \aleph _{0}}\)

"Hipotezą continuum" w tył? To nie ma nic wspólnego z Hipotezą Continuum.

JK

Kartezjusz pisze:Tutaj chodzi o "hipotezę continuum" , ale w tył. że nie znajdziemy liczby nieskończonej mniejszej niż \(\displaystyle{ \aleph _{0}}\)

"Hipotezą continuum" w tył? To nie ma nic wspólnego z Hipotezą Continuum.

Dlatego użyłem cudzysłowu. chodzi o to ,że HC oraz to twierdzenie mówią o braku liczb kardynalnych pośrednich mówiąc tak "prosto"

A co do dowodu. Polecam najpierw zauważyć, co by oznaczało istnienie takiej liczby.

Ten dowód ma też zły schemat.
Załóżmy, że udowodnimy (w ZFC) implikację:

Istnieje nieskończona liczba kardynalna mniejsza niż \(\displaystyle{ \aleph_0. \implies}\) Istnieje liczba kardynalna między \(\displaystyle{ \aleph_0}\) i \(\displaystyle{ \mathfrak{c}.}\) \(\displaystyle{ (\iff \neg \, \mathrm{CH})}\)

Wtedy z faktu, że zaprzeczenia hipotezy continuum nie można udowodnić w ZFC, wynika jedynie, że poprzednika implikacji nie można udowodnić w ZFC. Nie oznacza to jednak nieprawdziwości tego drugiego.

źle się wyraziłem nie jestem matematykiem tylko programistą nie nawykłym do matematycznego stylu myślenia

po poprawkach mój tok rozumowania wygląda tak:

zakładam istnienie zbioru nieskończonego o mocy mniejszej niż alef zero

liczba wszystkich podzbiorów tego zbioru ma moc pośrednią pomiędzy alef zero a c (nie wiem jak to udowodnić- chyba metodą przekątniową że jest większy od alef zero, a mniejszy od continuum wykorzystując zależność że jeśli moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest większa od mocy zbioru \(\displaystyle{ B}\) to moc \(\displaystyle{ P(A)}\) jest wieksza od \(\displaystyle{ P(B)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(X)}\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\))

ponieważ aksjomaty hipoteza continuum jest niezależna od aksjomatów ZFC wnioskuje że taki zbiór nie istnieje


ciekawe swoją drogą czy można wprowadzić do matematyki pojęcie "zbioru urojonego" (analogia do liczb urojonych) o mocy pośredniej pomiędzy alef zero a c

być może kluczem do hipotezy continuum jest udowodnienie że dowolny układ aksjomatów pozwoli wygenerować zbiory równoliczne z zbiorem liczb naturalnych i zbiorami utworzonymi przez tworzenie zbioru wszystkich podzbiorów danego zbioru (cały czas piszę o zbiorach nieskończonych)

znikam pisze:[...]a mniejszy od continuum wykorzystując zależność że jeśli moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest większa od mocy zbioru \(\displaystyle{ B}\) to moc \(\displaystyle{ P(A)}\) jest wieksza od \(\displaystyle{ P(B)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(X)}\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\)

Śmiałe stwierdzenie.

Oj, śmiałe...

znikam pisze:zakładam istnienie zbioru nieskończonego o mocy mniejszej niż alef zero.

A jak definiujesz zbiór nieskończony?

JK

pewnie jest tu jakaś pułapka a zbiór nieskończony definiuje jako taki zbiór który ma podzbiór właściwy równoliczny z danym zbiorem

Panie Janie czy może Pan potwierdzić lub wskazać błędy w moim rozumowaniu

Dasio11 pisze:

znikam pisze:jeśli moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest większa od mocy zbioru \(\displaystyle{ B}\) to moc \(\displaystyle{ P(A)}\) jest wieksza od \(\displaystyle{ P(B)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(X)}\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\)

Śmiałe stwierdzenie.

a nie jest tak? czy to znacznie głębszy problem?

Troszkę głębszy. Jan Kraszewski wytłumaczy to lepiej.

zgaduje jest prawdziwe o ile hipoteza continuum jest prawdziwa??
dla skończonych liczb kardynalnych dowód jest trywialny
dla nieskończonych
mamy ciąg alef zero, continuum, alef jeden, alef dwa etc
każdy kolejny element powstaje przez utworzenie zbioru potęgowego z zbioru o mocy równej poprzedniku
indukcyjnie można to udowodnić (chociaż coś mi się o uszy obiło że zbiór alefów jest nieprzeliczalny )

poszukałem na internecie i muszę to jeszcze przetrawić bo na razie to dla mnie czarna magia

... rdynalnych

... 10_p5.html

znikam pisze:mamy ciąg alef zero, continuum, alef jeden, alef dwa etc
każdy kolejny element powstaje przez utworzenie zbioru potęgowego z zbioru o mocy równej poprzedniku

Nie jest to prawdą. Mylisz zapewne alefy z betami.

mam coraz większe wrażenie że powinienem umieścić ten post w dziale Hyde Park

klaustrofob pisze:a nie jest tak?

Nie musi być. Może, ale nie musi. To jedno z tych pytań, na które odpowiedź nie mieści się w prostym schemacie "tak/nie".

[/quote]

Dasio11 pisze:Troszkę głębszy. Jan Kraszewski wytłumaczy to lepiej.

Nie sądzę, by dało się to wytłumaczyć na forum w sposób wystarczająco dokładny. Dla zainteresowanych: .

znikam pisze:Panie Janie czy może Pan potwierdzić lub wskazać błędy w moim rozumowaniu

znikam pisze:zakładam istnienie zbioru nieskończonego o mocy mniejszej niż alef zero
liczba wszystkich podzbiorów tego zbioru ma moc pośrednią pomiędzy alef zero a c

A dlaczego? I co to znaczy "moc pośrednią"?

Althorion pisze:

znikam pisze:mamy ciąg alef zero, continuum, alef jeden, alef dwa etc
każdy kolejny element powstaje przez utworzenie zbioru potęgowego z zbioru o mocy równej poprzedniku

Nie jest to prawdą. Mylisz zapewne alefy z betami.

W zasadzie tak, choć ja bym to raczej przypisał operowaniu obiektami, których istoty niespecjalnie się rozumie, a nie myleniu czegoś z czymś:

znikam pisze:muszę to jeszcze przetrawić bo na razie to dla mnie czarna magia

JK