różnica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną

[a4karo]

OJ, niedokładnie pamiętasz definicje: \(\displaystyle{ f}\) nie działa na podzbiorze sigma ciała, bo elementami sigma ciała sa podzbiory przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Funkcja działa na zbiorze \(\displaystyle{ X}\).

[leszczu450]

a4karo, ależ taka mam definicje . Nie kłamie przecież Panu i nie wyklocalbym się tak tak długo. U mnie i u każdego innego z grupy funkcja f działa z \(\displaystyle{ C \to \overline{\RR}}\) , gdzie \(\displaystyle{ C \subset \mathfrak {M}}\).

[a4karo]

Zgodzisz się z tym, że funkcja \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest mierzalna?
co jest jej dziedziną

[leszczu450]

a4karo, dziedzina jest \(\displaystyle{ \RR}\).

[a4karo]

To jaki to podzbiór jakiego sigma ciała?

[leszczu450]

a4karo, sigma ciała zbiorów borelowskich?

[a4karo]

No nie za bardzo: \(\displaystyle{ \RR}\) jest elementem sigma ciała, a nie podzbiorem.
Podzbiorem tego sigma ciała jest np zbiór \(\displaystyle{ \{(0,1), [2,\infty), \RR \}}\), który ma trzy elementy.

Albo zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ \{\RR\}}\).

[leszczu450]

Niestety ale nie rozumiem. Nie będę Pana męczył. Pójdę na konsultacje do prowadzącego. I tak dużo mi Pan wyjaśnił. Dziękuję za pomoc .

[a4karo]

Rada: weź książkę i przeczytaj spokojnie definicję. Na notatkach chyba nie możesz polegać, być może coś źle przepisałeś.

[leszczu450]

a4karo, tak też zrobię. Gubie się strasznie w tych rodzinach zbiorów... kompletnie nie czuję tego co to są te funkcje mierzalne, nie mogę pojąć do teraz pojęcia zbiorów borelowskich i sigma ciała zbiorów borelowskich. : (

-- 22 mar 2014, o 01:34 --

a4karo, tutaj w twierdzeniu 1.1 jest mowa o takim podejściu do funkcji mierzalnej jakie ja miałem na moim wykładzie. To jakiś błąd?

[Dasio11]

W moim dowodzie powołam się na wcześniej udowodniony fakt, iż suma dwóch funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną oraz na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\} \in \mathfrak{M}}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna.

Pozwólcie, że się wtrącę. Myślę, że nie od rzeczy byłoby, gdybyś sformułował ten fakt porządnie. Na razie funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest skwantyfikowana, więc to nie jest poprawne zdanie logiczne. Podobnie zbiór \(\displaystyle{ C.}\)

[leszczu450]

Dobra. Więc zaczne jeszcze raz. Nie miałem jeszcze pojęcia zbioru mierzalnego. To fakt i tyle. Przerabiam dopiero czwarty wykład z teorii miary i takiej definicji po prostu nie było. Kontaktowałem się z kolegami z grupy i wszyscy są co do tego zgodni. I dodają, że ta definicja pojawi się później. Kropka.

Co mam udowodnić? Mam udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f,g}\) są funkcjami mierzalnymi i \(\displaystyle{ f : C \to \overline{\RR}}\) oraz \(\displaystyle{ g : C \to \overline{\RR}}\). Jasno mam napisane w notatkach, że \(\displaystyle{ C \in \mathfrak{M}}\). Co ja rozumiem tak, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest jednym ze zbiorów należących do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\). Bo jeśli dobrze rozumiem defincję sigma ciała jako rodziny podzbiorów danej przestrzeni spełniającej pewne warunki, to chyba nie ma w tym nic złego, ze funkcje \(\displaystyle{ f, g}\) są określone na pewnym takim podzbiorze tego sigma ciała. Kropka

Wcześniej udowodniłem, że suma dwóch funkcji mierzalnych \(\displaystyle{ f, g}\) jest funkcją mierzalną. Pan a4karo słusznie poradził mi, że mogę to zrobić w inny sposób. Ale ja najbardziej lubie moje sposoby. Nieważne jak bardzo skomplikowane- ważne, że moje.

Kolejny fakt na jaki chcę się powołać w moim dowodzie to fakt, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f, g}\) są mierzalne, to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x \in C : f(x) < g(x)\right\}}\) należy do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\). Kropka.

Cały dowód przedstawiłem w pierwszym moim poście.

[Dasio11]

W takim wypadku dowód z twojego pierwszego postu jest w porządku. Warto jednak wspomnieć, że niemal cały ciężar dowodu spoczywa na tym fakcie, na który się powołujesz.

[leszczu450]

Dasio11, a co do określenia funkcji. Ma to sens? Bo Pan a4karo mówił, że niezbyt.

-- 22 mar 2014, o 22:48 --

I przyznaje się do tego, ze o tym fakcie wcześniej pisałem głupoty. Po prostu coś innego rozumiałem, a raczej nie rozumiałem czegoś : ) Tutaj zwracam honor Panu a4karo i dziękuję za pomoc.

-- 22 mar 2014, o 22:52 --

I chyba własnie doszedłem do tego dlaczego z Panem a4karo się nie mogliśmy dogadać. Ja chciałem powiedzieć, że \(\displaystyle{ C}\) jest elementen sigma ciała \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), a nie jego podzbiorem. Chyba ważne tutaj jest \(\displaystyle{ \in}\) i \(\displaystyle{ \subset}\).

[Dasio11]

I chyba własnie doszedłem do tego dlaczego z Panem a4karo się nie mogliśmy dogadać. Ja chciałem powiedzieć, że \(\displaystyle{ C}\) jest elementen sigma ciała \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\), a nie jego podzbiorem. Chyba ważne tutaj jest \(\displaystyle{ \in}\) i \(\displaystyle{ \subset}\).

Zgadza się.