różnica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną

[leszczu450]

Cześć !

Chciałbym Was prosić o sprawdzenie poprawności mojego dowodu odnośnie faktu, że \(\displaystyle{ f-g}\) jest mierzalne o ile \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna i \(\displaystyle{ g}\) jest mierzalna

W moim dowodzie powołam się na wcześniej udowodniony fakt, iż suma dwóch funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną oraz na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna.

Ustalam \(\displaystyle{ r \in \RR}\). Określam \(\displaystyle{ h : C \to \overline{\RR}}\) wzorem \(\displaystyle{ h(x)= r + g(x)}\). \(\displaystyle{ C \in \RR}\) , \(\displaystyle{ h}\) jest mierzalna bo \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; h(x) < c\right\} = \left\{ x \in C ; \quad r+g(x) < c\right\} = \left\{ x \in C ; g(x) < c-r \right\}}\). A ten ostatni zbiór z dowolności \(\displaystyle{ c,r}\) należy do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\).

Teraz: \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x)-g(x) < r\right\} = \left\{ x \in C ; f(x) < r + g(x)\right\} = \\ =\left\{ x \in C f(x)< h(x)\right\} \in \mathfrak{M}}\)

\(\displaystyle{ \square}\)

Czy wszystko jest ok? I czy możnaby zrobić to inaczej(prościej) ?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[a4karo]

Cześć !

W moim dowodzie powołam (...) na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna.

Co znaczy to zdanie po polsku?-- 21 mar 2014, o 18:03 --

Cześć !

I czy możnaby zrobić to inaczej(prościej) ?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

Pewnie, że można: \(\displaystyle{ f-g=f+(-g)}\)

[leszczu450]

a4karo, aaa no powinno być jeszcze po tym nawiasie \(\displaystyle{ \in \mathfrak{M}}\).

Ale w Pana dowodzie trzeb jeszcze udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest mierzalna, to funckja \(\displaystyle{ -g}\) jest mierzalna. Ale to jest chyba proste. Udowodniłem w domu, że również funkcja \(\displaystyle{ \lambda f}\) jest mierzalna więc jak przyjmę za \(\displaystyle{ \lambda=-1}\) , to będzie wszystko dobrze. Zgadza się?

[a4karo]

a4karo, aaa no powinno być jeszcze po tym nawiasie \(\displaystyle{ \in \mathbb{m}}\).

Nie za bardzo rozumiem co ma być elementem czego? Nie prościej napisać, że jest mierzalny?

Co do drugiej części: juz Ci parę razy pisałem: uwierz w swoje rozumowania - zbyt często każesz nam potwierdzać, że \(\displaystyle{ 2+2=4}\).

[leszczu450]

a4karo, co do pierwszej części . Nie rozumiem Pana. Póki co wiem jedynie co to jest funkcja mierzalna. A Pan mówi o mierzalnosci czego ? Zbioru ?

[a4karo]

A niby co miał znaczyć Twój zapis? Przecież masz tam zbiór, a w korekcie posta chciałeś napisać, że ten zbiór należy co sigma ciała zbiorów mierzalnych, tylko Ci zamiast dużego M smieszne oczko wyszło.

[leszczu450]

a4karo, chyba się troszkę nie rozumiemy : ) napisałem , że ten zbiór należy do odpowiedniego sigma ciała i wcześniej w domu udowodniłem ze jak tak jest to funkcja jest mierzalna. Jestem totalnie zagubiony w świecie teorii miary ... przepraszam za moją niewiedzę .

[a4karo]

Dobra, prześledżmy co napisałeś:

W moim dowodzie powołam się na wcześniej udowodniony fakt, iż suma dwóch funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną oraz na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}}\) to funkcja f jest mierzalna.

Zapis w drugiej częśći nie ma sensu.

Poprawiłeś to na cos takiego:

aaa no powinno być jeszcze po tym nawiasie \(\displaystyle{ \in \mathbb{m}}\).

Wyszło smieszne oczko. Rozumiem, że miało być \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}\in \mathbb{M}}\)

Na co ja napisałem

Nie prościej napisać, że jest mierzalny?

. Przecież to właśnie chciałes napisać, tylko Ci nie wyszło. Więc czego nie rozumiesz?

Póki co wiem jedynie co to jest funkcja mierzalna. A Pan mówi o mierzalnosci czego ? Zbioru ?

. Nie, to Ty mówisz o mierzalności zbioru. Czyzbyś sam nie rozumiał co piszesz? W końcu nieżle "przeczołgałes" spektralnego z teorii miary .

-- 21 mar 2014, o 19:29 --

A.. i jeszcze jedno:
piszesz

W moim dowodzie powołam się (...) na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}\in \mathbb{M}}\) to funkcja f jest mierzalna.

Przy jakich założeniach ma zachodzic ten fakt?

[leszczu450]

Ale przecież ja mówię o mierzalnosci funkcji f . Nawet nie wiem co to znaczy , że zbiór jest mierzalny. Definicje funkcji mierzalnej podałem w innym moim temacie . I wychodząc od tamtej definicji mowie ze funkcja f jest mierzalna o ile zachodzi również ten fakt o którym mówimy. Czyż nie ?-- 21 mar 2014, o 19:37 --+ nie wykluczam ze po prostu nie rozumiem tego co pisze : ) musiałbym być naprawdę niezły żeby powiedzieć ze rozumiem wszystko co się tutaj dzieje . Niech Pan weźmie poprawkę na to , że uczę się sam i po prostu ciężko mi idzie .

[a4karo]

No to masz problem. Jeżeli dyskutujesz o funkcjach mierzalnych i nie wiesz, co to jest zbiór mierzalny, to znaczy, że nie wiesz o czym piszesz. W matematyce rzeczy się ze soba wiążą. Nie możesz w jednym poście dyskutować o zbiorach mierzalnych, a w drugim pisać, że nie wiesz co to takiego.

W moim dowodzie powołam się (...) na to, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ x \in C ; f(x) < g(x)\right\}\in \mathbb{M}}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna.

Jeżeli z założenia, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna wyciagasz wniosek, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest mierzalna, to niewątpliwie masz rację, ale tracisz czas.

[leszczu450]

a4karo, ale skąd ja mam to wiedzieć ? Nie miałem tego na wykładzie jeszcze . Przerabiam po kolei i nie natknąłem się na to jeszcze .

[a4karo]

Jesze raz: jak definiujesz funkcję mierzalną, skoro nie wiesz, co to jest zbiór mierzalny?

[leszczu450]

a4karo, definiuje ja tak jak w temacie w którym też się Pan wypowiadał . Przeciwobraz każdego zbioru otwartego musi należeć do sigma ciała . Jestem teraz w PKSie i nie mogę tego w latexu napisać. Niemniej jednak definicja zbioru mierzalnego nie była użyta w definicji funkcji mierzalnej.

[a4karo]

Ależ to sigma ciało to własnie sigma ciało zbiorów mierzalnych w zbiorze, na którym określona jest funkcja.

[leszczu450]

a4karo, oj no to ja miałem jedynie powiedziane ze Funkcja działa z podzbioru sigma ciała do rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych i tak określoną funkcja jest mierzalna o ile odpowiednie Przeciwobrazy znajdują się w sigma ciele .