Zero w mianowniku

[xiikzodz]

Ta liczba jest całkiem przyzwoita i równa:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt 2+\sqrt 3}=\frac{(1-\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)(1-\sqrt 2-\sqrt 3)}{(1+\sqrt 2+\sqrt 3)(1-\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)(1-\sqrt 2-\sqrt 3)}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{(1-\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)(1-\sqrt 2-\sqrt 3)}{1+4+9}}\)

Po cierpliwym wymnożeniu licznika otrzymujemy kombinację liczb \(\displaystyle{ 1,\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6}\) bez niewymierności w mianowniku.

[Inkwizytor]

xiikzodz, nie każdy jest tak genialny jak ty Trza łagodniej podchodzić do sprawy. To może zniechęcać do zadań
Na początek proponuję \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{2} - \sqrt{3}}\)
i dalej już łatwo

[czeslaw]

Zgadzam się, mało kto jest tak genialny jak xiikzodz, ale to co zrobiła w tym przypadku to raczej standardowe posunięcie...

[Inkwizytor]

ale to co zrobiła w tym przypadku to raczej standardowe posunięcie...

Nie zawsze standardowe oznacza najkrótsze. W tym przypadku będę się upierał przy swoim

[vancover]

Mógłby mi ktoś to z grubsza wytłumaczyć?

[xiikzodz]

Zdaje się tam u mnie jest błąd w mianowniku, chyba coś innego powinno stać w miejscu 1+4+9, ale na pewno nie będzie tam niewymierności.

Można krok po kroku, ale można też zauważyć, że iloczyn:

\(\displaystyle{ (1+a+b)(1-a+b)(1+a-b)(1-a-b)}\)

nie zmienia wartości jeśli zamienimy \(\displaystyle{ a}\) na \(\displaystyle{ -a}\) i/lub \(\displaystyle{ b}\) na \(\displaystyle{ -b}\), zatem jest wielomianem od \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\), czyli dla \(\displaystyle{ a=\sqrt 2}\) i \(\displaystyle{ b=\sqrt 3}\) będzie liczbą całkowitą, dzięki czemu znika niewymierność.

Pozostaje więc wymnożyć licznik i mianownik w wyrażeniu

\(\displaystyle{ \frac{(1-\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)(1-\sqrt 2-\sqrt 3)}{(1+\sqrt 2+\sqrt 3)(1-\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)(1-\sqrt 2-\sqrt 3)}}\)

a niewymierność sama zniknie zgodnie z powyższym argumentem.

Takie podejście tym się różni od dłubania we wzorach skróconego mnożenia, że zawiera przedsmak tego, o co tu tak naprawdę chodzi, czyli o automorfizmy ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt 2,\sqrt 3)}\).

[Inkwizytor]

Takie podejście tym się różni od dłubania we wzorach skróconego mnożenia, że zawiera przedsmak tego, o co tu tak naprawdę chodzi, czyli o automorfizmy ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt 2,\sqrt 3)}\).

Oczywiście masz rację, ale czy nie uważasz że w tym przypadku to strzelanie do komara z armaty? Zwłaszcza że wspominanie 16-latkowi o automorfizmach ciała może źle wpłynąć na jego podejście do matematyki